Математика \ Высшая математика

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". Задачи для самостоятельного решения, страница 9

Рассмотрим линейные пространства векторов с двумя или тремя координатами: R⁽²⁾ и R⁽³⁾. Элемент =(а₁,а₂)ÎR⁽²⁾ можно рассматривать как направленный отрезок, лежащий в плоскости, а элемент =(а₁,а₂,а₃)ÎR⁽³⁾ – как направленный отрезок в прстранстве.

Если на плоскости или в пространстве задана декартова система координат, то а₁=, а₂= и для пространственного вектора а₃=.

Числа а₁, а₂, а₃ называют координатами вектора. Координаты определяют длину и направление вектора, но не определяют точку его приложения. Два вектора, имеющие одинаковые длины и направления, считаются равными, даже если они приложены в разных точках (т.е.

Решить СЛУ по формулам Крамера.

Решение:

;

; .

Ответ: х=7, у=1, z=2.

По формулам Крамера, как правило, решают СЛУ с числом неизвестных не больше четырех. Дело в том, что вычисляя главный определитель системы самым рациональным способом, по схеме Гаусса, можно заодно получить и решение СЛУ.

3.6 Линейное пространство.

Рассмотрим некоторое множество Х. Множество называют линейным пространством, если в нем определены действия сложения двух элементов и умножения элемента на число. Эти действия подчиняются следующим правилам:

" x, y, z, … ÎХ и " чисел a, b, …

1) aх ÎХ

2) х+у=у+х ÎХ

3) (х+у)+z=х+(у+z)

4) $ нулевой элемент OÎХ: х+O=O, 0×х=O

5) "х $ противоположный элемент, который принято обозначать (-х): х+(-х)=O

6) 1×х=х

(a - угол с ОХ, b - угол с OY, g - угол с OZ)

Легко показать, что для любого вектора

Рассмотрим два вектора =(а₁,а₂,а₃) и =(b₁,b₂,b₃) (для векторов =(а₁,а₂) и =(b₁,b₂) все аналогично!). Определим их скалярное произведение также как в пространстве R⁽ⁿ⁾: ×=а₁b₁+a₂b₂+a₃b₃, но здесь добавим

×=,

j - угол между и .

Отсюда:

2) условие ортогональности (перпендикулярности) векторов

^ Û ×=0 Û а₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

Два вектора и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (параллельны).

Условие коллинеарности:

ôô Û Û

Для двух векторов =(а₁,а₂,а₃) и =(b₁,b₂,b₃) рассматривается операция, не имеющая смысла в R⁽ⁿ⁾ при n¹3: векторное произведение, которое обозначается ´.

=´ - это вектор со следующими свойствами:

1) ^; ^

3) , , - образуют правую тройку (поворот от к с конца виден против часовой стрелки).

Ясно, что (площадь параллелограмма со сторонами , ).

Векторное произведение вычисляется по формуле:

´=.

Новая СЛУ, равносильная данной:

Последнее уравнение выродилось в равенство 0=0, которое выполнено всегда и может быть отброшено.

Рассматриваем уравнение "снизу".

1) в уравнении 3,5х₂-0,25х₃+5х₄=-2,5 три неизвестных. Следовательно, любые два из них можно задать произвольно.

] х₂=a, х₃=b, тогда

3,5a-0,25b+5х₄=-2,5 Þ х₄=-0,5+0,05b-0,7a

2) 4х₁-2х₂+х₃-4х₄+4х₅=2 Þ 4х₁-2a+b-4(-0,5+0,05b-0,7a)+4х₅=2

или 4х₁+4х₅=-0,8a-0,8b.

Здесь два неизвестных, одно из них можно задать произвольно.

] х₅=g, тогда

4х₁+4g=-0,8a-0,8b Þ х₁=-0,2a-0,2b-g.

Ответ:

Рассмотренная система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы получить конкретное решение, одно из бесчисленного множества, надо задать конкретные значения a, b и g.

При a=5, b=10, g=0 получим

х₁=-3, х₂=5, х₃=10, х₄=-3,5, х₅=0.

При a=1, b=1, g=1 получим

х₁=-1,4, х₂=1, х₃=1, х₄=-1,15, х₅=1

и т.д.

Степень свободы системы равна трем.

Все возможные ситуации, которые могут возникнуть при

Найти: 1) длины сторон треугольника

2) углы треугольника

3) площадь треугольника.

Решение: