Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". Задачи для самостоятельного решения, страница 12

где N – общее число работающих в отделе;

0=N-6-6-7+4+3+2-1 Þ N=11 (в отделе работают 11 человек).

Для ответа на второй вопрос перепишем формулу включений и исключений в виде:

М(a`2, a`3) = М - М(a2) - М(a3) + М(a2, a3),

где М – количество сотрудников, знающих английский язык, знание остальных языков безразлично, или комментируется информацией в скобках.

46

4. Если в определителе поменять местами две любые строки, определитель сменит знак.

5. Если элементы одной из строк определителя умножить на какое-то число, определитель умножится на то же число.

6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной из строк определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

               Схема Гаусса вычисления определителей порядка n состоит из (n-1) этапа. На первом этапе в матрице определителя на местах элементов а21, а31, ..., аn1 получают нули, не меняя значения определителя. На втором этапе нули получают на местах элементов а32, а42, ..., аn2 и т.д., пока матрица не станет треугольной.

Иллюстрируем схему Гаусса.

Первый этап:

D=,

где  ( i ³ 2, j ³ 2).

На втором этапе "забывают" о существовании первой строки и первого столбца и работают с элементами, обозначенными bij,

D=,

где ( i ³ 3, j ³ 3).

На третьем этапе получаем нули в третьем столбце ниже с33, используя для преобразований третью строку и т.д.

Если окажется, что а11=0 (на первом этапе), или b22=0 (на втором этапе), или с33=0 (на третьем этапе) и т.д., то от этого избавляются, меняя местами строки и, соответственно, знак определителя.

Пример 1: вычислить определитель по схеме Гаусса.

15


Решение:

1) находим число шариков

n=3+2+4=9

2) искомое количество способов

Р(3,2,4)=.

2.3 Размещения.

               Размещением m элементов из n различных называется расположение в определенном порядке каких-либо m элементов из данных различных n элементов. Размещения считаются разными, если они отличаются хотя бы одним элементом или порядком расположения.

               Количество различных размещений обозначается  и вычисляется по формуле:

.

Заметим, что в формуле ровно m сомножителей, первый сомножитель равен n, каждый следующий на единицу меньше.

Пример: В турнире участвуют 8 игроков. Каким количеством способов могут распределяться три первых места? (Сколько вариантов "тройки призеров" существует в данном случае?)

Решение: Тройка призеров – это три имени из восьми, расположенные в определенном порядке. Ответом на поставленный вопрос будет число размещений из восьми по три:

.

               Можно также рассматривать размещения m элементов из неограниченного количества предметов, относящихся к n различным сортам (предметы одного сорта не различаются).

               Размещением с повторениями m элементов из n называется расположение в определенном порядке m предметов из неограниченного количества преметов n различных видов.

               Количество таких размещений обозначается  и вычисляется по формуле:

.

               В этой формуле, также как в формуле для , ровно m сомножителей, но все они равны n, а не убывают, как в предыдущем случае.

Пример: Для запирания сейфа используется замок, который откроется только при наборе на пяти дисках определенных букв. На

48

на "палки" означает, что имеется в виду не матрица, а ее определитель).

               Сформулируем правило вычисления определителя, которое не

является его определением, а только следует из определения. Строгое определение определителя матрицы здесь  приводить не будем.

]

,                               (*)

где i – номер произвольно выбранной строки (ответ не зависит от выбора i, это доказывается);

       - алгебраическое дополнение элемента aij;

      Мij – минор – определитель остатка матрицы А после вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца.

Равенство (*) сводит вычисление определителя n–ого порядка (порядком определителя матрицы называют количество строк и столбцов этой матрицы) к вычислению определителя порядка (n-1). Определитель второго порядка вычисляется по формуле: .

Следовательно, можно при вычислении определителя порядка n перейти к порядку (n-1), затем (n-2), и т.д. до определителей второго порядка.