Предел функции в точке. Теорема о единственности предела и об ограниченности функции, имеющей предел. Бесконечно малые величины. Теорема о сумме. Предел функции в точке. Объем тела вращение и площадь поверхности тела вращения. Формула Грина, страница 4

16.Теорема Роля. Геометрический смысл теоремы.

Пусть f(x) дифференцирована на (а,b) и непрерывна на [а,b] тогда сЄ(а,b) f’(c)=0 и f(a)=f(b) 

Док-во:Пусть f(x)=const => f’(x)=0  xс(а,b).Пусть f(x) не постоянна=> f(x) достигает (по т. Вейерштрасса) наиб.(М) и наим (m) значение на  (а,b). Считаем, что бы одно из m и М достигается внутри интервала

Пусть внутри наход. max и достегает в т. С

Если Δx>0 Тогда(*)<0

Если Δx<0 Тогда(*)>0

Устремляется. Δx→0 =>

Геометр смысл: сущ касательная ||оси Ох

17.Теоремы Лагранжа и Коши

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифф-ма на (a,b) тогда сЄ(а,b);

f(x)-f(х₀)=f’(c) (x- х₀)

f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)

док-во

                                                                       F(a)=F(b)=0

сЄ(а,b)    F’(c)=0

Теорема Коши

Пусть f(x) и g(x) непрерывна на [а,b], дифф-мы на (а,b) и g’(x)≠0 на (а,b)

Тогда сЄ(а,b)

 не является следствием теоремы Лагранжа

g(b)≠g(a)

док-во:

F(a)=0------F(b)=0

F(x) непрерывна на [а,b] дифф-ма (a,b)=> сЄ(а,b)    F’(c)=0

 

18.Правило Лопиталя

теорема: Пусть f(x) и g(x) диффир в некоторой проколотой окрестности в т. х₀  и пусть

                                        и g’(x)≠0 в этой окрестности.

Тогда, если                  , то                  и эти приделы равны между собой

*замечание 1. правило Лопиталя применима к              в качестве х₀  может быть

*замечание 2. Если f’(x) и g’(x) удовлетворяет условию теор. по правилу Лопиталя применимо еще раз

*замечание 3  В общем случае из существ. придела отношений ф-ий не следует сущ. пред. существование производных.

 

                                                           -------------

 

Предел, но не может быть вычислить по правилу Лопиталя

Док-во: Получим f(х₀)=0, g(х₀)=0. Рассмотрим правую б окр-ть т. х₀  (б такое, что мы не выходим за гран. Области дифф-ти). Функции f(x) и g(x) непрерывна на [х₀, х₀+б] и дифференцируема на (х₀, х₀+б)=> по т. Коши с такая что                                     сЄ[х₀,x]

                          =>

20.Теорема (достаточное условие экстремума)

Пусть y=f(x) непрерывна в т. х₀ и дифф-ма в U_б⁰(х₀). Тогда если производная имеет разные знаки в U_б-⁰(х₀)и U_б+⁰(х₀) то х_0- точка экстремума, а именно если f’(х)<0хсU_б⁰(х₀) то х₀ - локального максимума, а именно если f(х₀)<0 хсU_б⁰(х₀) то х_0- точка локального минимума.Если f’(x)>0 хсU_б⁰(х₀) и f’(x)<0хсU_б+⁰(х₀) то х₀-локальный максимум

Док-во:пусть f’(x)>0 хсU_б⁰(х₀)и f’(x)<0хсU_б+⁰(х₀) на [x₀-б₁, x₀] на [x₀-б₁, x₀] и на [x₀,x₀₊б₂] f(x) непрерывна, а также f(x) дифференцируема на (x₀-б₁, x₀) и ( x₀,x₀₊б₂) => удовлетворяет условию т.Логранжа

 ζс(x₀-б₁, x₀)

                                                      

    =>      это справедливо хс(x₀-б₁, x₀) => хс(x₀-б₁, x₀)

f(x₀)>f(x)

Аналогично

с ( x₀,x₀₊б₂)

f(x₀₊б₂)-f(x₀)=f’(ζ)(б₂)<0                                    =>f(x)<f(x₀), х=> x₀  локальный максимум #

21.Выпуклость,вогнутость,точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым на (a,b)) если касательная проведенная к графику функции в каждой точке расположен выше (ниже) графика. Т. x наз. точкой перегиба графика функции  y=f(x), если в данной точке график меняет поведерие с ∩ на U или наоборот.

Теорема:Пусть y=f(x) дважды дифференцированная в окрестности  x₀ и f’’(x) непрерывна в данной окрестности, тогда если f’’(x)<0 хЄ (х_0-б, х₀) и  f’’(x)>0хЄ (х₀,х_0+б) то f(x) выпуклая на(х_0-б, х₀)и вогнута на (х₀,х_0+б)

Док-во:По теореме Тейлора

Уравнение касательной

------

   лежит между х и х_{0 .}Пусть f’’(x)<0 => график f(x) U. Необходимое условие перегиба графика. Пусть х₀ –точка перегиба графика функции y=f(x) тогда либо f’’(х₀)<0, либо f’’(х₀) не .