Предел функции в точке. Теорема о единственности предела и об ограниченности функции, имеющей предел. Бесконечно малые величины. Теорема о сумме. Предел функции в точке. Объем тела вращение и площадь поверхности тела вращения. Формула Грина, страница 2

В) f(x)*g(x) = (A+ α(x))(B+β(x)) = AB+A β(x)+α(x)B+α(x)β(x)

c)                                                                                                     -

ограниченна

Теорема: Пусть                                                     тогда f(x)>0 в некотор окр-ти т. х₀

Док-во

E>0 б(E)>0 : х  0<|x- х₀|< б =>|f(x)-A|<E  А-Е<f(x)

Выберем Е=    ---                              

Следствие: Пусть f(x)≥0 в U_б⁰(х₀).   Тогда если ,                      то А≥0

Док-во:  Пусть А<0 =>в некот окр-ти f(x)<0 противоречие с условием =>A≥0

Нельзя утверждать, что услов f(x)>0 следовательно А>0 -----F(x)=x² -- 

 

5.Предел функции в точке. Теорема о пределе сложной функции. Степенно-показательные неопределенности.

U_б(х₀) = {x: |x- х₀|<б} “б”- окрестность точки х₀ ;U_б⁰(х₀) = {x: 0<|x- х₀|<б}

Определение: Пусть каждому xЄAcR поставлено в соответствие одно значение уЄВcR, тогда говорят, что задана функция f:A→B, y=f(x)

Определение: число А называется пределом функции у=f(x) при х стремящемуся к х₀ если E>0 и б>0 : х  0<|x- х₀|<б  => | f(x)-A|<E

Теорема(о пределе сложн. Функции):  Пусть у=f(x) и

Для функции g(y)                        .  Тогда для h=g*f

док-во: Е>0 б₁(Е)>0 : y : 0<|x- х₀|< б(E)---|g(y)*h₀|<E

для б₁(Е) б(б₁)>0:x :  0<|x- х₀|< б     |f(x)-y₀|<E =>Е>0 б>0 : x: 0<|x- х₀|<б

|h(x)-h₀|<E

­­

Степенно-показательные неопределенности:

Лемма: Пусть                             и

Тогда

Док-во : Пусть f(x)>0

                                                          --------- рассмотрим

 

                       ---- g(x)→0-------ln f(x) →------[*0] →-----g(x) →---ln f(x)→0

6.Предел функции одной переменной.

U_б(х₀) = {x: |x- х₀|<б} “б”- окрестность точки х₀ ;U_б⁰(х₀) = {x: 0<|x- х₀|<б}

Определение: Пусть каждому xЄAcR поставлено в соответствие одно значение уЄВcR, тогда говорят, что задана функция f:A→B, y=f(x)

Определение: число А называется пределом функции у=f(x) при х стремящемуся к х₀ если E>0 и б>0 : х  0<|x- х₀|<б  => | f(x)-A|<E

первый замечательный придел

Теорема:

док-во

|AC|=cosx     -----    |BC|=sinx   -----                 -----                   ----

                                     ----

Считаем, что предел берется правосторонний

                                   ---------------                                   ---------

 

перейдем к пределу при x→ 0+     -----                                          по теореме о зажатой переменной                       ---                         =>

Второй замечательный предел

Теорема:      

Док-во:

  

Последовательность {(1+1/n)ⁿ}монотонно возрастает и ограничена сверху=>предел

                                      --- придел А… 2<A<3   ----A=e=2,7318

Пусть n≤x<n+1   x-полож                        ----

                                                           ----- 

 

    

 -----                                                                  -----

7.Точки разрыва.

f(х₀-0)- предел слева------------f(х₀₊0)- предел справа

Пусть f(х₀-0)=f(х₀₊0)≠ f(х₀) либо f(х₀) не определена -----------“устранимый”

Пусть f(х₀-0) и f(х₀₊0) и f(х₀-0) ≠f(х₀+0)------------------------“скачок”

Все остальные разрывы наз. 2 рода

Пример f(x)=arctg 1/x-------

Теорема: все основные элементы функции непрерывны на своей естественной облости определения

Теорема: если функция y=f(x) дифф в т. х_0, то f(x) непрерывна в  т. х₀

Док-во: y=A x+α(x)x   ----

Опр: Пусть f(x) определенно в некоторой U_б(х₀) и                                                 стремится к нулю при . Тогда f(x) называется непрерывной в точке х₀