Теория электрической связи: Сборник задач и упражнений, страница 2

8.  Постройте графики сигнала  при

а) ;

б) ;

в),

если .

9.  Экспоненциальный импульс задан выражением

 

Определите эффективную длительность импульса, как длину интервала, на котором сосредоточено 90% энергии сигнала.

10.  Определите эффективную длительность биэкспоненциального  импульса  как длину интервала, на котором сосредоточено 95% энергии сигнала ().

11.  Колокольный (гауссовский) импульс определяется выражением . Найдите эффективную длительность по энергетическому критерию при .

12.  Постройте графики вещественной и мнимой частей комплексного колебания  .

13.  Постройте векторные диаграммы для колебания

 для .

14.  Постройте векторные диаграммы для колебания 


для .

15.   Проверьте, образует ли множество действительных чисел  группу относительно операции сложения; относительно операции умножения.

16.  Пусть  – множество всех четных целых чисел. Образует ли множество  группу относительно операции сложения? относительно операции умножения?

17.  Найдите нормы (в ) сигналов

а)  ,

б) ,  в) , г) , д)

18.  Найдите скалярные произведения пар сигналов, упомянутых в предыдущей задаче:  а) и б); в) и г); б) и д); а) и г).

19.  Найдите расстояния между сигналами в этих же парах в евклидовой метрике.

20.  Найдите углы между сигналами , как векторами в гильбертовом пространстве   при , ,, .

Постройте на основе этой совокупности функций ортонормальный базис. Охарактеризуйте пространство сигналов, натянутое на этот базис.

Смените нумерацию сигналов на обратную и постройте ортонормальный базис. Сравните результаты.

21.  Найдите угол между сигналами  и , как векторами гильбертова пространства,  если ; если .

22.  Найдите скалярные произведения сигналов

а)  и  при ;

б)  и .

23.  Прямоугольные функции Радемахера при  описываются выражением , где  – номер функции, а квадратные скобки обозначают целую часть числа, заключенного в них. Постройте графики первых 8 функций. Проверьте ортонормальность системы функций Радемахера. Убедитесь в том, что функция  ортогональна всем функциям ,  (что говорит о неполноте системы Радемахера в качестве базиса пространства ).

24.  На основе системы функций Радемахера постройте графики новых функций , воспользовавшись формулой  при .

25.  Постройте графики 8 первых функций Уолша , , пользуясь выражением , где

,    Убедитесь, что функции , построенные в предыдущей задаче, являются функциями Уолша.

26.  Найдите первые 8 коэффициентов разложения импульса, показанного на Рис. 3, в базисах Радемахера и Уолша. Постройте графики соответствующих аппроксимаций импульса.

Рис. 3

27.  Найдите первые 8 коэффициентов разложения импульса, показанного на Рис. 4, в базисе Уолша.

Рис. 4

Постройте график аппроксимации импульса.

28.  Функции Хаара, образующие ортонормальный полный базис пространства , определяются следующими выражениями:

 при  и .

Постройте графики функций , ,, , , , , .

Постройте аппроксимацию треугольного импульса (Рис. 4) суммой этих функций.

29.  Чётный прямоугольный импульс единичной амплитуды, заданный на интервале (–1;1) и имеющий длительность 0,5 с, аппроксимируется конечной суммой комплексного ряда Фурье. Определите норму ошибки аппроксимации, если количество слагаемых .

30.  Найдите скалярное произведение пары функций из набора

 

при одинаковых индексах; при разных индексах .

31.  Найдите импульсную характеристику цепи с КЧХ вида

32.  Найдите импульсную характеристику цепи с КЧХ вида

33.  Определите колебание, сопряженное по Гильберту , по отношению к  к  к .

34.  На множестве, состоящем из чисел 0 и 1, приведенными ниже таблицами определены операции сложения и умножения.

Таблица сложения                                        Таблица умножения

+

0

1

´

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1