Расчет токов методом контурных токов, проверка по законам Кирхгофа и баланс мощностей. Метод узловых потенциалов

Пояснительная записка

1.Метод контурных токов.

Рис. 1.1

 Дано:             R₁=R₂=R₃=4(Ом);    R₄=R₅=5(Ом);    E₁=50В;    E₂=60В;   J₁=10А;      ϕ₂=0В;

Выберем направления контурных токов (Рис. 1.1), контурный ток J₄₄=J₁, I₇=J₁, перенесем  в правую часть, и запишем уравнения:

                                                              (1.1)

Решим эту систему из трех уравнений по методу Крамера:

Определитель матрицы коэффициентов:

                            

Определители матриц со столбцами свободных членов:

                 

                         

                         

Разделим полученные определители на определитель матрицы коэффициентов, и найдем значения контурных токов:

                                                                                          (1.2)

                  

 J₁₁=2.41А             J₂₂=-5.663A          J₃₃=4.669A             J₄₄=10A

Опираясь на Рис. 1.1 найдем связь между контурными токами, и токами в ветвях:

                                              

                                                                                                        (1.3)

I₁=2.41А

I₂=2.41А- 4.669A =-2.259A

I₃=4.669A+5.663A =10.331A

I₄ = -4.669A

I₅= -5.663A -2.41А=-8.072A

I₆=-5.663A+10A=4.337A 

2. Проверка по законам Кирхгофа и баланс мощностей

Рис. 2.1

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа, включающую в себя три уравнения записанные по первому закону, три уравнения по второму закону:

(2)

(1)

(4)

(I)

(II)

(III)                                                                                                                (2.1)

Подставим значения, чтобы убедится в правильности составления уравнений:

 (2)-2.41А+4.669А-2.259А=0

 (1)-10.331A+2.259A+8.072=0

 (4)-10A+4.337A+10.331A-4.669A=0

 (I)2.41A*4(Ом)+8.071А*5(Ом)-50В=0

 (II)4.669А*4(Ом)+10.331А*4(Ом)-60В=0

 (III)-8.072А*5(Ом)-10.331А*4(Ом)+4.337А*5(Ом)+60В=0

Запишем уравнения для потребляемой и генерируемой мощности:

Для нахождения потребляемой мощности возводим токи в квадрат, умножая на сопротивление ветви:

                                                                       (2.2)

P_potr=2.41²А*4(Ом)+10.331²А*4(Ом)+(-4.669)²А*4(Ом)+(-8.072)²А*5(Ом)+4.337²А*5(Ом)

P_potr=957.229Вт

Для генерируемой мощности, алгебраическая сумма мощностей источников:

                                                                                                          (2.3)

Для того чтобы найти напряжение на ab воспользуемся вторым законом Кирхгофа (обойдем IV контур против часовой стрелки):

-U_ab+I₆*R₅=0                                                                                                                                         (2.4)

U_ab=4.337A*5(Ом) = 21.687В

P_gen=50В*2.41А+60В*10.331А+10А*21.687В=957.229Вт

3.  Метод узловых потенциалов

Рис 3.1

Из условия задачи, потенциал узла (2) считают равным нулю. Т.к. ветвь (2)-(1) не содержит элементов, потенциал узла (1) равен потенциалу узла (2)(ϕ₁=0В).

Найдем потенциалы узлов (3) и (4) составив систему уравнений:

                                                                                               (3.1)

Воспользуемся методом Крамера:

       

         

 

                                                                                                                            (3.2)

  = -40.361В           = -18.675В

Так как искомый ток(I₂) это ток закоротки, найти его можно только выразив из законов Кирхгофа.

Выразим его из первого закона Кирхгофа, записав уравнение для узла (2):

(2)                                                                                                                                                 (3.3)

Найдем токи I₁ и I₄ по закону Ома(разность потенциалов плюс алгебраическая сумма ЭДС ветви, деленная на сопротивление ветви):

                                                                                                                                            (3.4)

                                                                                                                                                        (3.5)

I₂=

4.Метод наложения (суперпозиции)

1) Частичный ток от источников ЭДС.

 Для того чтобы посчитать частичный ток от источников ЭДС, заменим источник тока на его внутреннее сопротивление (бесконечность), и посчитаем ток I₃  по методу контурных токов.

Рис. 4.1

Составим систему из трех уравнений, и найдем три контурных тока:

                                                                  (4.1)

                                                                 

Воспользуемся методом Крамера: