Параметрический синтез локальных систем автоматического управления, страница 9

tg y =m, т. е. получаем, что y=arctg m. Степень затухания рассматриваемой составляющей процесса будет определяться значением тангенса этого угла. Если корень характеристического уравнения pi=-a±jw этой системы будет лежать в плоскости комплексного переменного на линии АОВ, то степень затухания Y будет постоянной.

         Между степенью затухания и степенью колебательности переходного процесса регулирования существует следующая зависимость:

где  2mp - логарифмический декремент затухания колебаний.

Рис 4.2.1  К пояснению понятия степени колебательности и степени затухания.

Выражение передаточной функции звеньев, для которых рi находится на линии АОВ, называется расширенной АФЧХ:

,

  Если m=0, то РАФЧХ совпадает с линией АОВ и совмещается с мнимой осью, следовательно, АОВ – мнимая ось, а система находится на границе устойчивости.

  Если m=∞, то РАФЧХ совмещается с действительной осью, что соответствует апериодическому переходному процессу.

Исходным условием при расчете оптимальных параметров настройки является соотношение:

т.е. произведение РАФХ объекта и регулятора равно единице.

Когда необходимо определить параметры настройки регулятора, обеспечивающие заданную степень затухания, производится замена p=(j-m)w. Смысл этой замены заключается в том, что корни характеристического уравнения имеют отрицательные части, а численное значение его обеспечивает заданный запас устойчивости, степень колебательности и затухания. Введение подобной замены есть ни что иное, как переход к расширенным АФХ.

Передаточная функция объекта, найденная при помощи самого точного метода: 

Выбран ПИ- закон регулирования с передаточной функцией:  Wp(p)=

Примем m = 0,221, что соответствует значению степени затухания y=0,75.

a)  Путем замены р=(j-m)w определяем РАФЧХ объекта, разлагая на мнимую и действительную части:

= - расширенная действительная частотная характеристика объекта.

= - расширенная мнимая частотная характеристика объекта.

b)  Аналогичным образом переходят к расширенным АФЧХ регулятора, также разделяя действительную и мнимую части:

Wp(p)=

Wp()=

=

=

c) Исходя из условия

имеем  []*[]=1

Преобразуем данную функцию в систему уравнений:

(1)

 
Re(m,w) Re (m,w) - Im(m,w) Im(m,w) – 1 = 0