Предмет геофизической гидродинамики. Уравнения движения. Основные упрощающие приближения, страница 9

.              (3.25)

Сложив (3.23) и (3.25) и учитывая при этом (3.22), получаем следующее выражение

.                  (3.26)

Уравнение (3.26) является основным соотношением теоремы Эртеля.

Теорема (Эртель). Если отсутствуют вязкие силы , источников не существует  и жидкость баротропна, т.е.  или , тогда потенциальный вихрь Эртеля

сохраняется вдоль траектории при движении жидкости, то есть

.

Действительно, в силу условия баротропности жидкости , так как . Условие  можно обобщить как .Тогда, если , то

Откуда следует, что . Таким образом из (3.26) в условиях теоремы сразу получаем

.

Потенциальный вихрь имеет важное значение для качественного анализа движений планетарного масштаба. Некоторым парадоксом в факте введения этой характеристики является то, что потенциальный вихрь даже не имеет размерности вихря. Однако, этот термин является уже установившимся и его широкое использование позволяет получить многие качественные результаты по принципам движения жидкости в геофизической гидродинамике. Вообще говоря, теорема Эртеля представляет собой теорему Кельвина при специально выбранном контуре , лежащем на поверхностях постоянных значений . Пояснения здесь могут быть следующими. Если потенциальный вихрь  сохраняется, когда расстояние между двумя изоповерхностями  увеличивается, то градиент  будет уменьшаться. Тогда компонента  должна увеличиваться для сохранения . Если изменения  невелики, то должен увеличиваться абсолютный вихрь . Таким образом, удаления изоповерхностей , например, плотности будет создавать относительную завихренность за счет изменения абсолютной завихренности.

С другой стороны,  и , являясь инвариантами, создают на пересечении изолиний трубки лагранжевых инвариантов, по которым движется жидкость.

4. Основные упрощающие приближения.

4.1. Приближение Буссинеска.

Система уравнений  (2.16) представляет собой полную модель, описывающую гидротермодинамику жидкости во вращающейся системе координат, в нее включены практически все процессы динамики атмосферы и океана, включая акустические волны и влияние сферичности Земли. Однако, для анализа некоторых явлений нам достаточно использовать более простые постановки, которые позволят сосредоточить внимание на характерных особенностях процессов, не затеняя их смысл несущественными деталями. В каждом случае мы будем указывать пределы  применимости упрощающих приближений и усложнять модели, по мере необходимости, при описании процессов различного масштаба и сложности.

Выпишем исходную систему уравнений (2.16), опуская диффузионные и вязкие члены, считая жидкость несжимаемой

,                                  (4.1)

,                                                        (4.2)

.                                                    (4.3)

Здесь  - единичный вектор, направленный по оси , где ,  - радиус Земли,  - ускорение свободного падения.

 Можно выделить состояние статического равновесия . Из (4.1) следует, что . Будем искать решения, близкие к состоянию статического равновесия. Возьмем  ,  . Считая изменения  и  малыми, из (4.2) следует, что

,

а из (4.1)

.

Если записать , где

·   для океана,

·   для атмосферы,

то положив , линеаризуем (4.4)

.

В итоге, опустив штрихи, получим приближение Буссинеска

                                                        (4.4)

                        

4.2. Приближение - плоскости.

В ряде случаев, когда характерный масштаб движений меньше радиуса Земли, удобно использовать систему координат с начальной точкой, выбранной на поверхности Земли, на некоторой широте . Являясь, вообще говоря, криволинейной, эта система уравнений при определенных условиях приводится к виду, аналогичному прямоугольной декартовой системе, что облегчает многие рассмотрения. Проведем указанные преобразования. Для сферической системы координат  в приближении Буссинеска система (4.1) - (4.3) примет вид