Предмет геофизической гидродинамики. Уравнения движения. Основные упрощающие приближения, страница 10

    (4.5)

Вводим криволинейную систему координат

Начало координат соответствует точке , ось  направлена на восток, ось  - на север, ось  - вверх.

Рис. 4.1.

Тогда уравнение неразрывности перепишется в виде:

.             (4.6)

Введем безразмерные переменные

.

Здесь  характерные масштабы горизонтальной длины и скорости, а  и  - соответственно, вертикального масштаба и вертикальной скорости.

Будем далее считать, что все величины  и так далее имеют порядок единицы. Модифицируем систему на примере уравнения неразрывности. Подставляя введенные безразмерные величины в уравнение и опуская штрихи, получаем

                            (4.7)

Пусть  и величина  мала по сравнению с единицей. Это выполняется, поскольку , , . Следовательно, можно разложить  и  в ряды Тейлора в окрестности .

Далее, выбирая  и отбрасывая члены порядка  в (4.7), получим

Полагаем, что

                                                  (4.8)

·  Первое условие (4.8) означает, что рассматривается тонкий слой жидкости в пренебрежении радиальным искажением .

·  Второе условие (4.8) означает, что горизонтальный масштаб движения меньше радиуса Земли .

·  Третье условие  (4.8) означает, что приближение не работает в высоких широтах.

Тогда в результате для уравнения неразрывности получим соотношение

.                                                    (4.9)

Рассмотрим параметр Кориолиса. Заметим, что

Тогда, проводя рассуждения и оценки аналогичные предыдущим для первой компоненты , получим выражение

В размерном виде

где  - параметр Кориолиса , , а . Остальные компоненты оцениваются аналогично.

С учетом сделанных предположений (4.8) можно показать, что нелинейные члены адвективной части ускорения в уравнениях движения сводятся к простому виду, совпадающему с формой в декартовой системе координат:

.

Следует отметить, что в вертикальной составляющей адвективного ускорения отброшен член . Это сделано из энергетических соображений после отбрасывания членов ,  в адвективных членах для горизонтальных составляющих движения, компенсирующих это слагаемое при выписывании соотношений для кинетической энергии системы. Градиент давления также примет простой вид . Окончательно, полная система уравнений при выполнении условий (4.8) примет вид

                         (4.10)

Таким образом, несмотря на введение криволинейной системы координат,  получили систему уравнений, близкую к системе в декартовой системе координат. Система уравнений, содержащая параметр Кориолиса с членом , называется приближением -плоскости и переводит уравнения, записанные на вращающейся сфере, в уравнения, записанные на вращающемся конусе, касающемся сферы на широте .

Если масштабы рассматриваемых движений сравнимы с вертикальными масштабами, то можно использовать приближение -плоскости, когда  (вращающийся цилиндр). Итак, если

·  , необходимо рассматривать сферическую систему координат;

·  , можно использовать приближение -плоскости;

·  , можно использовать приближение -плоскости.

4.3. Приближение квазистатики.

Продолжаем рассмотрение движений с большими масштабами. Если к условиям (4.8) дополнительно принять, что

                                          (4.11)

то слагаемыми  в уравнениях движения можно пренебречь. Первое условие (4.11) исключает экваториальные зоны океана, второе - выделяет крупномасштабные движения. Если теперь оценить все члены с вертикальными ускорениями, то они в принятых условиях будут существенно меньше, чем гидростатические члены. В этом случае применимо «квазигидростатическое» приближение, когда третье уравнение движения приобретает вид

.                                            (4.12)

Остальные уравнения системы имеют вид

                                       (4.13)

где

.