Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теория локального экстремума. Аксиомы вещественных чисел, страница 2

Множества и действия над ними

Операции множеств: а) объединение 2-х множеств -  - это множество, которое состоит из элементов и E₁, и E₂.

б) пересечение двух множеств -  - это множество всех общих элементов множеств E₁ и E₂.

в) дополнение – сE – если  

Непрерывные функции:

функция , называется непрерывной на Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е

Неравенство Иенсена.

Теорема: Пусть функция  выпукла вниз, тогда имеет место неравенство

Доказательство (методом мат. индукции):

1) n=2 – верно 2) n=k – верно 3) докажем для (k+1).

Рассмотрим , где  и . Если одно из  верно для n=k будем считать, что . Тогда  - верно по индукции .

(во условию выпуклости)  и подставим большую величину

Несобственные интегралы. Критерий их сходимости.

Определение: 1) пусть функция  определена на  и интегрируема на . Тогда предел при  называется несобственным интегралом  на . 2) пусть функция  определена на  и интегрируема на , тогда предел при  называется несобственным интегралом  на . 3) если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Критерий сходимости: пусть  и интегрир. на , и , . Тогда 1) если  сход. сход. 2) если  расходится  расходится.

Доказательство: 1) пусть  ; . 2)  найдутся , такие, что , ч.т.д. – отрицание критерия Коши => предела не существует.

Определение верхней и нижней грани.

Верхние и нижние грани:

число М – верхняя граница Е, если для  имеет место неравенство

число m – нижняя граница Е, если для  имеет место неравенство

число b называется верхней гранью множества Е, если 1) , ; 2) ,    - верхняя граница

число a называется нижней гранью Е, если 1) , ; 2)    - нижняя граница.

Определение предела функции по Гейне и Коши, их эквивалентность.

Определение по Гейне: функция ,  имеет пределом число , если для любой последовательности , что

Определение по Коши: функция ,  имеет предел при , если т.ч. ,

Лемма: определение предела функция по Гейне и Коши эквивалентны.

Доказательство:

1) Пусть  имеет предел  по Коши , т.е. т.ч. . Рассмотри произвольную последовательность . Надо доказать, что :  начиная с  все элементы  будут в окрестности (это из опр. по Коши) по Гейне, ч.т.д.

2) Пусть существует определение по Гейне, т.е. , т.е. имеет при  по Гейне. Надо доказать, что предположим, что это высказывание верно: . Возьмем , где . Т.е. . Т.е. мы получаем последовательность ,   - это противоречие опр. по Гейне, нашлась последовательность, которая не сходится к А противоречие определение по Коши вытекает.

Определение производной функции:  если существует предел  то он называется производной функции f точке x₀ и обозначается

Предел последовательности

Число  называется пределом последовательности , если (целое число) такое, что 

Принцип двойственности:

1. .

Доказательство: Пусть

2.

Доказательство: Пусть .

Свойства определённого интеграла:

1)

Доказательство:

2)

Доказательство:

3)

Доказательство:

4) 

Доказательство:

5)

Доказательство:

6)

Доказательство: рассм.

7)

Доказательство:  интегр. на  интегр. на  и . Рассм. разбиение  отр-ка , содерж. точку с .

Составим разность . По лемме (Дарбу)  интегр. на  и . Докажем равенство: . Составим разность для раз-ий отр. , включающих точку с

8)  и непрер. на  и

Доказательство (от противного): пусть , в кот. так, что:  ;

9) Теорема о среднем: - непрерывна на , где

Доказательство: все функции интегрируемы – мы предполагаем. Пусть М – макс. значение на , m – мин. значение на  . Интегрируем . Пусть - любая точка. Пусть . Т.к.  принимает все промежуточные значения

10) Неравенство Коши-Буняковского:

Доказательство:  - квадратное уравнение отн. l.

Теорема Больцана-Вейерштрасса

Теорема: из всякой ограниченной последовательности  можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: по условию имеем, что найдется с>0 такое, что  для всех n/ Разделим отрезок I₀=[-c,c] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число последовательности. Назовем его I₁ и в качестве 1-ого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент  , т.е. положим . Затем отрезок I₁ снова разобьем на два и обозначим через I₂ ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности . Среди них выберем такой член , номер которого n₂ превосходит число n_1, и положим  . Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку I₂, получим отрезок  и член с условием n₃>n₂. Далее таким же образом найдем , и т.д. В результате  мы получим числовую последовательность  и последовательность вложенных отрезков , причем  при всех . Другими словами,  будет подпоследовательностью для .