Метод проектирования на все три координатные плоскости

Исключая отсюда x, найдем проекцию этой линии на плоскость Oyz:   . Для потока получим (напомним Замечание 1: следует учесть, что в этом случае

 =.  4) Для потока  получим .

2°. Метод проектирования на все три координатные плоскости. Пусть поверхность (S) однозначно проектируется на все три координатные плоскости: (D_xy): z=z(x,y); ; .Для потока П в этом случае имеем (вторая формула из (1.3)):

                                    (1.5)

В (1.5) знаки проекций dydz, dxdz, dxdy выбираются в соответствии с сформулированным выше правилом.

Пример 3. Найти поток вектора  через часть внешней стороны сферы , заключенной в первом октанте.

Решение. Имеем . С учетом того, что поверхность расположена в первом октанте, проекции dydz, dxdz, dxdy берем со знаком “+”. По формуле (1.5)  . Из уравнения сферы имеем: ; ;  и

. Очевидно, . Вычислим этот интеграл в полярной системе координат:  ===.  Следовательно, .

3°. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Приведем соответствующую теорему.

Теорема. Если в некоторой области  проекции поля  непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора  через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность (S), расположенную целиком в области  , равен тройному интегралу от суммы  по области (V), ограниченной поверхностью (S):

                                                        (1.6)

- формула Гаусса-Остроградского.

          Замечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле (1.6) называется дивергенцией (расходимостью) поля ; обозначается .

Пример 4. Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность , .

Решение.По формуле (1.6) . Для вычисления этого интеграла применим сферическую систему координат: , , ; . Таким образом,

 .

Пример 5. Используя формулу Гаусса-Остроградского (1.6), вычислить поток поля  через верхнюю сторону части поверхности , расположенную над плоскостью Oxy.

Решение. Для того, чтобы можно было применить формулу (1.6), замкнем снизу данную поверхность куском плоскости Oxy, который ограничен окружностью ,  z = 0 . Вычислим подынтегральную функцию, стоящую под знаком тройного интеграла: . Отсюда следует, что поток П=0. По свойству аддитивности , откуда искомый поток . Уравнение поверхности  и . Таким образом,  - поток  через поверхность z =0 численно равен площади круга ; искомый поток .

15.1.3. Линейный интеграл вектора.  Циркуляция  векторного поля

          Пусть поле - непрерывное векторное поле, (L) – кусочно гладкая кривая с выбранным на ней положительным направлением (ориентированная кривая).

Определение 1. Линейным интегралом (обозначается L) вектора  вдоль ориентированной кривой (L) называется криволинейный интеграл

                                                                                                           (1.7)

Для линейного интеграла справедливы следующие формулы:

                                     (1.8)         

                                  =.                     

Если поле  есть силовое поле , то линейный интеграл (1.7) дает величину работы этого поля вдоль линии (L). Вычисление линейного интеграла в зависимости от задачи может быть проведено по одной из формул “списка” (1.8).

Определение 2. Циркуляцией (обозначается Ц) векторного поля  называется линейный интеграл по замкнутой ориентированной кривой (L):

                                                             .                                              (1.9)

За положительное направление обхода замкнутой кривой (L) берется то, при котором область, ограниченная кривой, лежит под левой рукой.

Пример 1. Найти линейный интеграл вектора  вдоль дуги (L) винтовой линии  от точки A пересечения линии с плоскостью z=0 до точки В  пересечения с плоскостью z =1.

Решение. Имеем по последней формуле из списка (1.8):  . Точке A соответствует значение параметра t =0, точке B – значение  и, таким образом,     .

Пример 2. Вычислить работу силового поля  вдоль отрезка  прямой, проходящей через точки  и .

Решение. Работа .

Запишем канонические уравнения прямой .
Отсюда ;  параметры . Вычислим работу:
.

Пример 3. Вычислить циркуляцию поля  вдоль эллипса .

Решение. Имеем по формуле (1.9) и (1.8): .
Запишем параметрические уравнения эллипса: . Вычисляя dx и dy, получим: - здесь использовано, что  (вычисление этих интегралов проводится с помощью понижения степени подынтегральной функции).

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля   вдоль линии L, полученной пересечением конуса  с координатными плоскостями (см. рис.4).

Рис. 4.

Решение. Линия L состоит из двух отрезков BC и CA, расположенных на координатных плоскостях Oyz и Oxz соответственно, и дуги  окружности  . Для циркуляции имеем:  .1) На отрезке BC имеем: . Следовательно, . 2) На отрезке CA имеем:   . Следовательно, .  3) На дуге AB окружности  имеем:  и   =. Искомая циркуляция поля равна нулю.

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля  вдоль линии , .

Решение. Имеем: . Линия L есть эллипс, получающийся в результате сечения цилиндра  плоскостью . Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки этой линии на плоскость Oxy находится на окружности . Отсюда, полагая , найдем, что . Для z из уравнения  получим: . Таким образом,   . Находим отсюда:  , и для циркуляции запишем определенный интеграл: