Неоднородные уравнения. Решение неоднородного уравнения

Страницы работы

Содержание работы

Неоднород. Ур-я.

y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y`+an=f(t)

если f(t)=eptP(t), где P – степень полинома, исслед Эйлер

если P – не корень ур-я, то y=eptB(t), где В(t) – некий полином

Решение неоднородного ур-я = решение однородного+частное решение

Если Р – корень кратности α, y=tαeptBИ(е)

Линейные системы уравнений.

1) dỹ/dt=A(t)ỹ(t)+f(t) (А – матрица) – с перемен. коэфф.

ỹ=(y1,y2…yn); A=(aij(t)) – квадр матрица

В координатах dyi/dt=

i=1,2…n

если f≡0 →однородная система, если нет →неоднородная

можно свести к 1 ур-ю (диф-м n раз) и каждый раз исключаем одно ур-е, затем решаем и подставляем в 1ое

Можно найти иначе: введем понятие ФСР однор ур-я →

1(t),ỹ2(t)…ỹn(t) – лин незав, каждая из них явл решением исх ур-я. это ФСР

(так же ввод опред Вронского, только из строк ỹi а не произв)

 →сk=0 → B(t)≠0

все тоже самое как и для однород ур-я

рассмотрим случай, когда матрица А не завис от t: dỹ/dt=Aỹ(t) – построим для него ФСР с пост коэфф 1ого порядка

будем искать решение в виде ỹ(t)=hekt; k и h  не знаем

 → hk=Ah

проблема заключается в воиске собств вект матр А и собств числа,

надо найти h→сост лин сист отн h:

­­

те (A-kE)h=0

det|A-kE|=0 – характ ур-е находим k, подст в ур-е и находим h

корни матр (если их n)→ они собств знач

A n лин зав h – собств векторы

имеет место результат

k1-корень, α1-кратность, h11, h12…h1α1 – α1 лин независ векторов →

домнож ek1th11, tek1th12… tα1-1ek1th1α1            итд

               ekmm1, te­kmthm2…tαm-1ekmth1mαm

эта сист ф-ий и будет фср

есть другой подход: рассмотрим такую задачу коши

нам надо постр решение для t> или <0

если

если туда подставить вместо числа А матр А получим:

ỹ(t)=etA0;

такой ряд сходится, он определяет матрицу.

тогда эта вектор-ф-я – решение задачи коши. проверка такая-же

Рассмотрим ур-е Шредингера

где Δ- опер Лапласа, А – оператор

нахождение решения – проблема квантовой механики

U(x,t)=etAU0(x) – эта ф-ла дает формальное решение задачи коши

Если

 

Оператор можно брать любой (только линейный)

t=0 →един матрица→ Эл-т

далее диф-ем док-во того что делается так, как будто А – число

можно - ряд, вместо z ставим матрицу мы сопоставили каждой аналит ф-ии операторную.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Шпаргалки
Размер файла:
50 Kb
Скачали:
0