Линейные свойства ПИ-1. Свойство аддитивности для ПИ-1

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

4.  Координаты центра тяжести материальной поверхности s :

                                 .

Задания

1.  Записать линейные свойства ПИ-1.

2.  Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где s - часть плоскости

,  вырезанная цилиндром   (рис.14.26).


Рис. 14.26 

Ñ Поверхность s проецируется на плоскость  в круг . По формуле (6.4) . Из уравнения s следует ,   ; тогда =

=

=.#

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где s - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

Ñ Полная поверхность s тетраэдра складывается из его граней: ,где (рис.14.27).

 Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы :

а) ;

б) ;

Рис.14.277

 
в) ;

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются .

.

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции  независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а  заменить выражением, полученным выше, причем . Находим:

;

, так как области и  переходят одна в другую заменой  на ;

;

=.

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

120. , где s -  часть плоскости , лежащая в первом октанте.

121. , где s -  часть сферы , лежащая в первом октанте.

122. , где s -  полусфера .

123. , где s -  полусфера .

124. , где s -  цилиндр , ограниченный плоскостями , а  r –расстояние от точки поверхности до начала координат.

125. , где s -  часть конической поверхности , вырезанная поверхностью .

126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

127. Найти массу параболической оболочки , плотность которой меняется по закону .

128. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна .

129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности , вырезанной поверхностью .

14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

          Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на nчастей  с площадями  и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента  на плоскость  (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком  “+” или “–“ ); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел  при называется поверхностным интегралом второго рода от   по определенной стороне поверхности s :

                                                   

(здесь  напоминает о проекции  на  и содержит знак).

          При проецировании ориентированной поверхности s  на плоскости  и  получаем ПИ-2:          

                                        .

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность   задана явно. Тогда

а) если , то  ;

б) если , то  ; (6.5)

в) если , то  .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью  = - функции, определенные и непрерывные на s, то

                    .           (6.6)

          Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

                             .

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где  - положительная (внешняя) сторона сферы.

Рис.14.28

 
Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить на с уравнением  и с уравнением (рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности характеризуется нормальным вектором ,

ибо угол между и положительным направлением Oz, т.е. (,ÙOz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,ÙOz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей и есть область - круг радиуса R с  центром в начале координат. Поэтому  по формуле (6.5) + =½переходим к полярным координатам :  

 ,     ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½=;

=

=; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где  - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью z=2.

ÑВнешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

Рис.14.29

 
а потому  , = .

Тогда ,.

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

=

Рис.14.29

 
=. Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция  на плоскость Oxy есть область - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как , то по формуле (6.3) (или (6.4)) =½переходим к полярным координатам      ½=

== = = .#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:

130. , где s - положительная сторона куба, составленного плоскостями .

131. , где s - положительная сторона нижней половины сферы .

132. , где s - внешняя сторона эллипсоида .

133. , где s - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями .

Применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность s ограничивает конечную область (тело) V и , ,  - направляющие косинусы внешней нормали к s:

134. .   135. .

136. .

137. .

138. , где s - внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида , цилиндра и координатных плоскостей.

139. Вычислить интегралы 132, 133, применяя формулу Гаусса – Остроградского.

Ответы

1. . 2. .

3. .  4. 1.    5. 1/ 40.   6. .

7. .    8. .   9. . 10. .     11. . 12..

13. .    14. .

15. .

16. .

17. .    18. .

19. .       20. 0.      21. 33/140.       22. 9/4.       23. –2.       24. .     

 25. .     26. .       27.

28. .

29. .       30. .

31. .

32. .

33. .

34. .     35. .

36. .          37..

38. .     39. .     40. .     41. .     42. .   43. .

44. а) , ;

б)  .

45. а) ;

      б) .

46. а) ;

      б) .

47. .     48. .     49. 1/180.     50. .     51. .

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
531 Kb
Скачали:
0