Координаты центра масс каркаса, составленного из тонких однородных стержней одинакового погонного веса и длин

Страницы работы

Содержание работы

Задание для контрольной работы по теоретической механике (статика С4)

a.  Найти координаты центра масс каркаса, составленного из тонких однородных стержней одинакового погонного веса и длины l=0.44 м.

b. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, показанной на рисунке. Размеры указаны в метрах.

c. Найти координаты центра масс однородной объемной фигуры, показанной на рисунке. Размеры указаны в сантиметрах.


Решение задачи a)

Для определения положения центра масс каркаса воспользуемся формулами :

         (1)

    В качестве массы будем использовать пропорциональную ей величину – длину элементов (стержней).

              Введем систему координат Oxyz соответственно показанному на рисунке.

              Координаты центров масс частей каркаса (стержней) в выбранной системе координат и их длины имеют значения:

                             x1=0 м, y1=0 м, z1=-0.22 м, L1=0.44 м;

                             x2=-0.44 м, y2=0 м, z2=-0.22 м, L2=0.44 м;

                             x3=-0.44 м, y3=0.44 м, z3=-0.22 м, L3=0.44 м;

                             x4=0 м, y4=0.44 м, z4=-0.22 м, L4=0.44 м;

                             x5=-0.22 м, y5=0 м, z5=0 м, L5=0.44 м;

                             x6=-0.44 м, y6=0.22 м, z6=0 м, L6=0.44 м;

                             x7=-0.22 м, y7=0.44 м, z7=0 м, L7=0.44 м;

                             x8=0 м, y8=0.22 м, z8=0 м, L8=0.44 м;

                             x9=0 м, y9=0 м, z9=0.22 м, L9=0.44 м;

                             x10=-0.22 м, y10=0 м, z10=0.44 м, L10=0.44 м;

                             x11=-0.44 м, y11=0 м, z11=0.22 м, L11=0.44 м;

              Подставим полученные значения в формулы (1) и найдем координаты центра масс С каркаса:


Решение задачи b)

    Для определения положения центра масс плоской фигуры воспользуемся формулами :

         (1)

    В качестве массы будем использовать пропорциональную ей величину – площадь элементов.

Нашу фигуру можно представить в следующем виде:

Фигура = [1]Квадрат (2х2) + [2]Полудиск (R=1) –[3]диск (d=0.5) –[4]треугольник –[5]полудиск (R=0,4) –

-[6]прямоугольник – [7]сегмент

В формулах считаем, что «вычитаемые» части  имеют отрицательную массу и входят в эти формулы с отрицательным знаком.

              Введем систему координат Oxy соответственно показанному на рисунке.  Для проведения вычислений определим углы a0, b и g :

Sina0=0.5/1=0.5, то есть угол a0=p/6 (Cosa0=0.866 ).

              Угол g=(p/2)-b, это означает, что Sing=Cosb==0.894, Cosg=Sinb==0.447

              Координаты центров масс частей фигуры в выбранной системе координат и их площади имеют значения:

              x1=1 м, y1=1 м, S1=4 м2;

              x2=2+(4/3p)R=2.42 м, y2=1 м, S2=pR2/2= 1.57 м2;

              x3=0.5 м, y3=1.5 м, S3=pR2 =0.196 м2;

              x4=2*(1/3)= 0.67м, y4=0.33 м, S4=(2*1)/2=1 м2;

              x5=1+CD*Cosg=1+0.1699*0.447=1.076 м, y5=0.5+CD*Sing =0.5+0.1699*0.894=0.6519 м, S5=pR2/2=0.2512 м2;

              x6=2+0.3+(1*Cosa0-0.3)/2 =2.583 м, y6=1 м, S6=0.566 м2;

              x7=2+0.958=2.958 м, y7=1 м, S7=0.023 м2;

              ПРИМЕЧАНИЯ: При вычислении положения центра масс полудиска [5] определяем его расстояние CD от центра полудиска по стандартной формуле. Размер и положение центра масс «вычитаемого» прямоугольника [6] определяем с помощью формул элементарной геометрии и данных для угла a0. Положение центра масс «вычитаемого» сегмента [7] с углом раствора 2a0 и радиусом R=1м определяем с помощью стандартной формулы, площадь сегмента определяем как разность площадей сектора с углом раствора p/3 и треугольника с основанием 1м и высотой 0.866 м.

              Подставим полученные значения в формулы (1) и найдем координаты центра масс С фигуры:

;

.


Решение задачи c)

Для определения положения центра масс объемной фигуры воспользуемся формулами :

         (1)

    В качестве массы будем использовать пропорциональную ей величину – объем элементов.

Нашу фигуру можно представить в следующем виде:

Фигура = [1]Параллелипипед (20х30х15) + [2]Призма (20х30х15) –[3]цилиндр (h=15, d=10)

В формулах считаем, что «вычитаемые» части  имеют отрицательную массу и входят в эти формулы с отрицательным знаком.

              Введем систему координат Oxyz соответственно показанному на рисунке.

              Координаты центров масс частей фигуры в выбранной системе координат и их объемы имеют значения:

                             x1=15 см, y1=10 см, z1=7.5 см, V1=9000 cм3;

                             x2=(30+1/3*30)=40 см, y2=10 см, z2=(1/3*15)=5 см, V2=4500 cм3;

                             x3=20 см, y3=10 см, z3=7.5 см, V3=p R2 h= 1177.5 cм3;

              ПРИМЕЧАНИЕ: Призма 2 в сечении плоскостью, параллельной плоскости Oxz, представляет собой прямоугольный треугольник. Центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан, то есть на расстоянии 1/3 от вершины треугольника с прямым углом по осям x и z соответственно.

              Подставим полученные значения в формулы (1) и найдем координаты центра масс С фигуры:

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Задания на контрольные работы
Размер файла:
69 Kb
Скачали:
0