Задачи, рекомендуемые для подготовки к госэкзамену (Предел функции. Непрерывность функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Предел и непрерывность функций многих переменных), страница 4

13. Кратные интегралы

Замечание: особое внимание уделить цилиндрическим, сферическим, полярным системам координат. В билетах, предположительно, задачи на кратное интегрирование будут встречаться, в рамках задач на теорию поля.

1. Записать интеграл  в виде повторного или суммы повторных с указанным порядком интегрирования (если указан порядок , то требуется расставить пределы интегрирования в следующем повторном интеграле )

1. Область  ограничена поверхностями , , а) ,

б) .

2. Область  ограничена поверхностями , , а),

б).

3. , а) , б) .

2. Свести интеграл к однократному или сумме однократных:

1. .

2. .

3. В интеграле  перейти к сферическим координатам и записать его в виде повторного, если

1) .

2) Область  ограничена поверхностями .

4. Вычислить интеграл:

1) , область  расположена в первом октанте и ограничена поверхностями .

2) .

5. Вычислить площадь области, ограниченной кривой:

1)                           2)   .

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностью:

1)                      2) .


14. Теория поля

1. Найти работу поля  вдоль прямой от точки  до точки , если:

, ,

2. Найти работу поля  вдоль кривой , если:

1) ; – часть графика  от точки  до точки

2) ; -дуга астроиды  от точки  до точки , расположенная в первом квадранте (-непрерывная функция) [К12.92.3].

3)  и  есть наименьшая дуга окружности  от точки до точки  [В178].

4)  – кратчайшая дуга эллипса ,  от точки до точки :                             б) ,     в) .

3. Найти по формуле Стокса циркуляцию поля  вдоль контура , ориентированного по часовой стрелке при взгляде на него из начала координат, если:

                        ,  .

4. Найти циркуляцию вектора  вдоль ориентированного контура .

1) ,  положительно ориентированная на правой стороне плоскости.

2) , , положительно ориентированная на внешней стороне параболоида.

5. Найти поток векторного поля  через поверхность  в направлении внешней нормали

1) , .

2) , – поверхность тела .

3) , – верхняя сторона треугольника , где , , .

4) ,  – поверхность пирамиды, образуемой плоскостью  и координатными плоскостями.

5) , – ограниченная часть параболоида , отсеченная плоскостью .

6) , – часть сферы , расположенная в области .

6. Найти дивергенцию поля  в точке . Чему приближенно равен поток вектора  через бесконечно малую сферу ?

7. Дано векторное поле . Вычислив  в точке , приближенно найти циркуляцию поля вдоль бесконечно малой окружности

, ,

где .

15. Интегралы, зависящие от параметра

Замечание: знать алгоритм полного анализа ряда/интеграла на равномерную/абсолютную сходимость. Уметь использовать признаки Дирихле, Абеля, Вейерштрасса и теорему о сходимости.

1. Доказать равномерную сходимость на указанном интервале

1) ,              2) ,

3) , а) , 4) , .

2. Исследовать на равномерную сходимость на указанном множестве

1),    а), б).

2),         а), б).

3) , .                 4) , а) ,  б) .

5)   .           6)  . 7),.               8),.

3. Найти:

1) .          2)     3) .

4. Исследовать на непрерывность в указанном множестве  следующую функцию

1) .               2) .

3) .                     4) .

5. Найти производную функции :    

1) .             2) .

Старший составитель: доц. С.Е. Рояк

Младшие составители/Оформители: Койфман Дмитрий (ПМ-12),

Сорокин Александр (ПМ-12).



* усложненный номер (возможно, именно на эти номера следует обратить внимание – а не решать все подряд?!)