Задачи, рекомендуемые для подготовки к госэкзамену (Предел функции. Непрерывность функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Предел и непрерывность функций многих переменных), страница 3

1) , 2) ,    3)

4. Найти первый и второй дифференциалы функций , заданных неявно:

1) ,             2)

5. Найти второй дифференциал в точке ,   функции , заданной неявно, если:           

1) ,               2) .

6. Найти дифференциалы первых двух порядков сложной функции u, если  дважды непрерывно дифференцируемая функция и независимые переменные

1) ,        

2) ,  3) , 

4) ,    5) ,  

6) ,         7) ,       

8) ,       9)

7. Проверить, что данное уравнение однозначно определяет функцию  в окрестности точки :   1) ,             2) .

Замечание: связать с равенством нулю частной производной.

8. Проверить, что данное уравнение однозначно определяет функцию  в окрестности точки :             .

9(!!). Сделать замену переменных:

1),   2) ,

3),   4),

5),    6),

7)    8) .

10. Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:

1) ,        2) ,

3) .

11. Приняв u, v и w за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:

1) , ,

2), .

12. Приняв u и v за новые независимые переменные, а w за новую функцию от u и v, преобразовать к новым переменным следующие уравнения:

1) ,

2) .

10(!!!!). Экстремумы функций многих переменных

1. Исследовать функцию u на экстремум

1)            7) 

2)               8)  

3)        9)

4)                   10) 

5)       11)  

6)                   12)

2. Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую функцию , заданную неявно:         1)                       2)  

3)               4)  

3. Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую функцию , заданную неявно:

1)                             5) 

2)                            6)  

3)                 7)

4)                               8)

4.Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую функцию , заданную неявно:                    1)  

2)                                         3) .

5. Найти условные экстремумы функции  относительно заданного уравнения связи: 1) ,    2) ,    3) ,

4) ,  5) ,    6) , 7),  8) ,

9) ,

6. Найти условные экстремумы функции  при заданных уравнениях связи:         

1) ,                    2) ,  

3) ,  4) ,   

5) ,                6) ,
7) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области:

1) ,     2) ,

3) ,   4) ,

4) ,    5) ,

6) ,     7) ,

8) ,    9) ,

10) ,    11)* ,   

12) ,

13)* ,

14)* .

11. Функциональные последовательности и ряды

1. Найти предельную функцию последовательности

1. ,        2.

2. Исследовать на равномерную сходимость последовательность на множестве

1. , а) , б) .

2. , а) , б) .

3. , а) , б) .

3(!). Исследовать сходимость функциональный ряд:

1. ,   2. ,   3. ,    4.

4(!). Исследовать на равномерную сходимость ряд на множестве :

1. ; 2. ;

3.   ; 4. .

5(!). Исследовать на равномерную сходимость ряд:

1. ;              2. ; 

3. ;            4. .

12. Степенные ряды

Замечание: кто забудет про радиус сходимости, тому – …!

1(!!). Найти множество сходимости ряда

1. ,   2. ,   3. ,    4. ,   5. .

2(!!). Разложить функцию  в степенной ряд с центром в точке . Указать радиус сходимости полученного ряда:

1. ;             2. ;       3.  ;

4. ;              5. ;  

6. ;            7(!!!). .

3. Разложить функцию  в степенной ряд с центром в указанной точке . Указать радиус сходимости полученного ряда.

1.  а) , б) ; 2. , ;

3. , а) , б) ;           4. , .