Вычисление КИ-2. Независимость КИ-2 от пути интегрирования

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где -  непрерывно  дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от к  кривая описывается именно от точки A к точке B,  то 

  (5.5)

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия.

а) Для плоской линии AB: и функций , : .

б) Для заданной явно плоской линии

                  .             (5.6)

          Независимость КИ-2 от пути интегрирования

          Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:

1) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2)  не зависит от выбора пути интегрирования;

3)  есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;

4) выполняются равенства: .

          Функция может быть найдена, например, по формуле

                       (5.7)

где - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.

          Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда

                .

          Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть:    1) функции  непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l– кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе lближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

.

          Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

.

          Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы , проходимая от точки  до точки .

Ñ Кривая l представлена на рис.14.24.    

Рис.14.24

 
 По формуле (5.6) имеем  =                    =. #

          Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра  , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).

Рис.14.25

 
Ñ  Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность запишем в виде .Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например, , . Тогда из уравнения сферы имеем = = = =. Отсюда, помня, что  , имеем . Итак, ; , , . По формуле (5.5)  =

=.#

          Пример 22. Найти первообразную функции , если .

Ñ По формуле (5.7) при  получим

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

97. , где l – отрезок прямой  от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.

98. , где l – контур прямоугольника с вершинами  , указанными в порядке обхода l.

99.  вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .

100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.

101. , где l – первая от начала координат арки циклоиды , .

102. , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).

103. , где l – дуга винтовой линии  .

104. , где l – линия пересечения сферы   и цилиндра  () , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).

Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:

105. .   106. .    107. .     

108.  (контурное интегрирование не пересекает поверхность   .

Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:

109. .

110. .

111. .

112. .

113. .   114.

С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:

115. , где l – окружность .

116. , где l – эллипс .

117. Вычислить , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l  окружает начало координат.

118. В каждой точке эллипса  приложена сила , равная по величине  расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.

119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности  от точки  до точки Указание. .

14.6.    Поверхностные интегралы

14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация

Гладкая поверхность s называется двусторонней поверхностью , если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура , лежащего на s и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется.

          Совокупность всех точек поверхности с приписанными  в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности.

          Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона - это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона.

          Если s задана неявным уравнением , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов

                            .              (6.1)

          Если s задана явным уравнением , , то сторона характеризуется одним из векторов :

                              ,   .                  (6.2)

14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

          Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности s из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) - произвольное разбиение s на n частей  с площадями  и диаметрами ; 3)  - произвольный набор точек;

4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности s и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы  при  ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности  s, ни от выбора точек , называется поверхностным интегралом первого рода от функции  по поверхности s:

                                                       .

Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность s задана неявным уравнением   и есть решение этого уравнения при  или - решение уравнения при , или  -решение уравнения при , где - проекции s на плоскости - соответственно, 2) между точками s и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то

,                                                                                     (6.3)

причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы.

Здесь  координаты вектора и находятся по формулам (6.1).
 ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.

Следствие. При явном задании s :  в силу (6.2) из (6.3) получим

                              .                  (6.4)

Некоторые приложения ПИ-1

1.  Масса материальной поверхности. Пусть - поверхностная плотность материальной поверхности s площади s. Тогда масса этой поверхности
                                                     .

2.  Площадь искривленной поверхности s . Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности s числено равна площади s , т.е.
                                                              .

3.  Статические моменты материальной поверхности s с поверхностной плотностью  и массой m относительно плоскостей  соответственно равны:   , .

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Домашние задания
Размер файла:
345 Kb
Скачали:
0