Вычисление приближенных значений

Страницы работы

Содержание работы

1)Если ряд (6.1) – знакочередующийся, то остаток D имеет знак своего первого члена  и .

2) Если ряд (6.1) – знакоположительный, то остаток D оценивают либо с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка и оценивают остаток ряда (6.1) суммой найденного ряда.

Обычно ищут десятичное приближение числа S, в то время как члены  ряда

могут и не быть десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь возникает новая погрешность, которую тоже нужно учесть.

Пример. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно положить    ?

Ñ Ошибка будет суммой знакоположительного ряда

                                                      .                                   (6.2)

а) Оценим эту ошибку, заменив члены ряда (6.2) членами геометрической прогрессии, которые будут больше членов ряда (6.2)

.

б) оценим эту же ошибку с помощью остаточного члена формулы Маклорена

. В нашем случае

. #

Пример. Вычислить  с точностью до 0,001 (предполагаем, что ).

Ñ  .

Проинтегрируем полученное разложение на [0, 2]:

                                                                      (6.3)

Получили знакочередующийся ряд. Если для вычисления интеграла  взять 4 члена ряда (6.3), то ошибка , которая получается за счет отбрасывания членов ряда, начиная с пятого, не будет превосходить первого из отброшенных членов, т.е. . Вычисления нужно вести с 4 знаками после запятой, тогда ошибка , которая получается при обращении II, III, и IV членов ряда (6.3) в десятичные дроби будет меньше   . Общая ошибка .   . Результат округлен до III знака после запятой. #

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения  в виде степенного ряда.

Ñ Т.к. x = 0 не является особой точкой для данного дифференциального уравнения, то решение его можно искать в виде ряда

                                                    (6.4)

Продифференцируем ряд (6.4) дважды:

    .                                                                                (6.5)

Подставим в уравнение вместо и  соответственно ряды (6.4) и (6.5):

      или

.

Приравнивая коэффициенты при всех степенях x к  нулю, получим: .

,  и т.д.

 #

Пример. Применяя метод последовательных дифференцирований, найти 5 членов разложения в ряд решения  дифференциального уравнения

 при начальных условиях .

Ñ Точка x = 0 не является особой точкой данного дифференциального уравнения, поэтому решение можно искать в виде:

                                           (6.6)

(разложение в окрестности x = 0!). Здесь .

Из уравнения .

Из уравнения

,

,

.

Подставим в (6.6)  :    или    #

Задачи для самостоятельного решения

57. Вычислить приближенное значение , взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена функции, оценить погрешность.

58. Вычислить приближенное значение , взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена функции , оценить погрешность.

Вычислить приближенно с указанной степенью точности D.

59.      60.      61.

62.    63. .             64.

Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001.

65.         66. .       67.           68.

69. Вычислить приближенно , взяв 3 первых члена разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить погрешность.

70. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения  , удовлетворяющего начальным условиям:

.

71. Записать в виде степенного ряда частное решение дифференциального уравнения  .

Записать в виде степенного ряда общее решение дифференциального уравнения.

72.  (шесть первых членов)

73. .          74. .

75. Найти 3 члена разложения в ряд частного решения уравнения

     

Ответы к задачам главы 12

1.[-1; 1]     2. (-1; 1)        3.    4. (-2;2)        5.     6.

7.    8. {0}   9.    10.       11.  12. 

13.[-6;-4]14.   15.   16.  

17. 18.      19.

25.        26.    27.   

28. .  29.     30.

31. a)          б)    33.        

34.         35.           36.

37.     38.

39.

40.    41.

42.        43.

44.    45.

46.

47.       48.

49.

50.       51.

52. ,    53.

54.    55.

56.    57. 1,39,  D=0,01    58. 0,3090,  D=0,0001  59. 0,3679    60. 0,9848    61. 4,309      62. 3,079   63. 1,609   64. 3,14159    65. 0,245    66. 0,508

67. 0,481   68. 2,835   69. 0,3230, D=0,0001

70.

71.

72.

73.

74.

     

75.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Домашние задания
Размер файла:
274 Kb
Скачали:
0