События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства, страница 2

Пример. Бросаем игральную кость —дискретное пространство элементарных исходов. . Р (выпадает нечетное количество очков)=

Сделаем следующие предположения:

1.  Пространство элементарных исходов —конечно.

2.  Все элементарные исходы равновозможны (равновероятны), т.е. . Тогда получим , т.к. слагаемые равны, то имеем , т.е. , где . Рассмотрим некоторые события , где k≤n. Вероятность события А.

o  Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных исходов: .

Это классическое определение вероятности.

Примеры:

1.  Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?

, n=6; , k=3; .

2.  Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб?

, .

3.  Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна семи?

, n=36;

, k=6;

.

§4. Элементы комбинаторики.

  Лемма 1. Из m элементов а1,…,аm первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (аi, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы.

  Доказательство:                                                                                                                                                                                     

  Всего имеем m∙n пар.

  Пример. В колоде 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт. Итого n=4∙9=36.

  Лемма 2.  Из n1 элементов первой группы a1, а2,…, аn1,

                          n2 элементов второй группы b1, b2,…, bn2,

                          n3 элементов k-ой группы x1, x2,…, xnk

можно составить ровно n1∙ n2∙…∙nk различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы.

1.  При k=2 утверждение выполняется (Лемма 1).

2.  Предположим, что Лемма 2 выполняется для k. Докажем для k+1 группы элементов . Рассмотрим комбинацию  как  и . Предположение дает возможность вычислить число комбинаций из k элементов, их n1 n2 nk. По Лемме 1 число комбинаций  из k+1 элементов n1 n2… nk+1.

Пример. При бросании двух игральных костей N=6∙6=36. При бросании трех костей N=6∙6∙6=216.

Леммы 1 и 2 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов a1, a2 ,an. Будем рассматривать выборку объема k  из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам:

1.  упорядоченные и неупорядоченные.

2.  с возвращением и без возращения.

Если выборка упорядоченная, то выборки с одним и тем же составом выбранных элементов, но разным порядком элементов в выборках, считаются различными.

Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример. Возьмем множество из трех элементов {1,2,3}. Выбираем k=2.

(1,1);(1,2);(1,3);

(2,1);(2,2);(2,3);

(3,1);(3,2);(3,3);

(1,1);(1,2);(1,3);

(2,2);(2,3);

(3,3);

С возвращением

(1,2);(1,3);

(2,1);(2,3);

(3,1);(3,2);

(1,2);(1,3);

(2,3);

Без возвращения

упорядоченная

неупорядоченная

выборка

Составим общую таблицу числа выборок:

С возвращением

Без возвращения

упорядоченная

Неупорядоченная

Выборка

Упорядоченная выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения .

o  Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений .

Пример. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

              n=113.

          .

Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке.

          Pk-число перестановок из k элементов. , поскольку 0!=1.

o  Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через .

. , где .

.

Свойства сочетаний:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .