События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства

 п. 1.2. События и операции над ними.

Относительные частоты и их свойства

Первичным понятием теории вероятностей, неопределяемым через другие понятия, является пространство элементарных исходов Ω. Обычно в качестве пространства элементарных исходов берутся единственно возможные неразложимые результаты эксперимента.

          Пример

1.  Предположим, что бросается симметричная монета. Тогда  (герб и решка).

2.  Игральная кость .

3.  Бросаются две монеты .

4.  Бросаются две игральных кости . Число элементарных исходов 36.

5.  На [AB] числовой оси w бросается наудачу точка.

6.  На [AB] бросаются две точки .

B

      y

                                     x

Определение. Событием называется произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω. Те элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А.

          Говорят, что событие А произошло, если в результате  эксперимента происходит элементарный исход wA, т.е. благоприятствующий событию А.

          Рассмотрим пример 2. , –событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков; –событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

o  Все пространство элементарных исходов Ω, если взять в качестве события, называют достоверным событием, поскольку оно происходит в любом эксперименте (всегда).

o  Пустое множество  (т.е. множество, которое не содержит ни одного элементарного исхода) называется невозможным событием, поскольку оно никогда не происходит.

Все остальные события, кроме Ω и , называются случайными.

Операции над событиями.

0.1  Суммой событий А и В называется объединение этих множеств АB.

 или .

–событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.

0.2  Произведением событий А и В называется пересечение множеств А и В, т.е. АВ. Обозначается как АВ.

АВ–событие, когда А и В происходят одновременно.

      и .

0.3  Разностью событий А и В называется разность множеств А\В.

А\В–событие, которое происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.

 и .

o  События А и В называются несовместимыми, если . Если А и В несовместимы, то будем обозначать .

o  Говорят, что событие А влечет событие В, если А является подмножеством В, т.е.  (когда происходит А, происходит В).

.

o  Событие  называется противоположным к событию А.

Пример 2. .  происходит тогда, когда А не происходит.

o  Говорят, что события Н₁,Н₂,…,Н_n образуют полную группу, если Н₁+Н₂+…+Н_n=Ω (т.е. Н₁, Н₂, Н_n–несовместимы, т.е. Н_i Н_j=, если i≠j).

Например, А и  образуют полную группу: .

     Предположим, что производится некоторый случайный эксперимент, результат которого описывается пространством Ω. Произведем N экспериментов. Пусть А—некоторое событие (), N(A)—число тех экспериментов, в которых произошло событие А.

     Тогда число  называется относительной частотой события А.

Свойства относительных частот.

Свойство 1.  Относительная частота произвольного события А.   .

Свойство 2.  Относительная частота достоверного события равна 1. .

Свойство 3.  (Аддитивность) Относительная частота суммы несовместимых событий  

§2. Аксиомы теории вероятностей.

Пусть Ω—пространство  элементарных исходов. Предположим, что F—некоторый класс подмножеств Ω.

o  Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому  ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью А, так что при этом выполняется аксиомы:

Аксиома 1.   

Аксиома 2.  ,т.е. вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома 3.   (счетной аддитивности) Если  и , то  (для несовместимых событий).

§ 3 Дискретные пространства элементарных  исходов.

Классическое определение вероятности.

o  Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать числами натурального ряда (натуральными числами).

Все другие бесконечные множества называются несчетными. Примером несчетного множества может служить [а,b], счетного N.

o  Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечно или счетно, т.е.  или .

     Любому элементарному исходу  ставится в соответствие число , так что при этом . Т.е.

o  Вероятностью события А называется число .