Исследование цепей синусоидального тока (Лабораторная работа № 4), страница 4

 3.11

Если задана комплексная проводимость Y=g-jb некоторого участка цепи то комплексное сопротивление того же участка равно:

 3.12

Выражения 3.11 и 3.12 показывают, что реактивное сопротивление X и реактивная проводимость b одного и того же участка цепи имеют одинаковый знак. Кроме того каждая слагающая проводимости (g и b) зависит как от активного, так и от реактивного сопротивлений.

Соотношения    справедливы только в частном случае, когда элемент R, L или C рассматриваются в отдельности, например:

1.4 Последовательный колебательный контур

1.4.1 Резонанс напряжений

Резонансная цепь с последовательным соединением является простейшей цепью для изучения явления резонанса напряжений (рис.11). Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:

 4.1

      Резонанс напряжений наступает при частоте ω₀  , когда     ; отсюда

  4.2

Мгновенные значения энергии выражаются формулами:

Если принять  , то . Поэтому

.

Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как

Это следует из того, что реактивное сопротивление цепи, содержащей индуктивность  и ёмкость, при любой схеме соединений пропорционально разности максимальных значений энергий, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

.

Поэтому условию резонанса (Х=0) соответствует равенство:

.

Мгновенные значения  и  колеблются с удвоенной частотой около среднего значения  причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

.

В рассматриваемом случае (резонанс напряжений ) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении R.

Известно, что добротность индуктивной катушки и конденсатора равны соответственно:

 . Умножив и разделив выражение для  на  , получим:

Здесь  - максимум энергии, периодически запасаемой индуктивностью L; P – средняя мощность, расходуемая в сопротивлении при амплитуде тока  .

Аналогично, разделив  на получим:

Здесь  - максимум энергии, периодически запасаемой ёмкостью С; P – средняя мощность потерь в параллельном сопротивлении R при амплитуде напряжения на ёмкости  .

Следовательно в обоих случаях добротность определяется в зависимости от отношения максимума энергии реактивного элемента к энергии РТ, выделяемой в виде тепла за период.

В случае резонансной цепи также пользуются понятием добротности цепи, подразумевая под этим в общем случае величину:

   4.3

Здесь  ω₀ - резонансная частота,  - сумма максимальных значений энергии периодически запасаемой при резонансе в индуктивных (или емкостных) элементах, Р – активная мощность на зажимах цепи при резонансе.

Для схемы рисунок 11 на основании 4.3 получаем:

      ,   4.4

где 

называется характеристическим (или волновым) сопротивлением резонансного контура.

Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частоте контура величину

       4.5

Сопротивление контура согласно 4.1 и  с учетом  4.2 и 4.4

откуда используя 4.5, , получаем       4.6

Следовательно, полное сопротивление цепи

и угол     

Ток в цепи

При частоте, близкой к резонансной, величина δ значительно меньше единицы и поэтому приближенно

     4.7

            Выражения 5.7   практически достаточно точны при . При  погрешность в сопротивлении z меньше 10 %.

На рисунке 12 кривые  даны в относительных единицах. Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений, при этом ток в цепи достигает своего максимального значения.

            На рисунке 13резонансные кривые тока в относительных единицах. По оси ординат отложены значения отношения токов к максимальному току при резонансе:

  4.8

            Чем выше добротность цепи Q , тем острее резонансные кривые. Таким образом величина Q характеризует остроту резонансной кривой. Согласно 4.3 чем больше отношение максимума энергии поля реактивного элемента к тепловой энергии , рассеиваемой за один период в резонансном контуре, тем острее резонансная кривая.