Исследование цепей синусоидального тока (Лабораторная работа № 4), страница 2

Ток  в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением u, ток в индуктивности L отстает, а ток в ёмкости С опережает напряжение на  (рисунок 6). Следовательно, суммарный ток i в цепи равен :

  (1.80

Уравнение 1.8 представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина  называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b>0) или емкостной (b<0) характер. Величина  называется активной проводимостью и всегда положительна.

Для нахождения и φ воспользуемся соотношениями 1.2 :

,                (1.9)

где                                                                    (1.10)

Из 1.9 следует, что  , где  

  (1.110

--  полная проводимость, рассматриваемой цепи. Активная, реактивная и полная проводимости относятся к основным понятиям, применяемых в теории электрических цепей.

Согласно  1.10  ток i отстает от напряжения  u на угол

                                               .

Если задано напряжение   на зажимах цепи с параллельно  соединёнными R,L и C , то ток определяется по формуле:

.

Угол φ, как и в предыдущем случае отсчитывается по оси углов ωtв направлении от напряжения к току и бывает острым или прямым:

.

Угол φ положителен при индуктивном характере цепи (b>0) при этом ток отстает по фазе от напряжения .

Угол φ отрицателен при емкостном характере цепи (b<0) при этом ток опережает по фазе  напряжение.

Ток совпадает с напряжением по фазе при , т.е. при равенстве индуктивного и емкостного проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов. Из выражений 1.10 и 1.11 следует , что активное и реактивное проводимости цепи связаны с полной проводимостью  формулами :

                                 .      (1.12)

Умножив правые и левые части выражений 1.12 на действующее значение напряжения U получим действующее значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями, называемые активной и реактивной составляющими тока:

     (1.13)

активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой:  .

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с параллельным соединением  элементов R и C , применяется понятие добротности конденсатора:

, которое равнозначно тангенсу угла  конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора  (угол диэлектрических потерь дополняет угол до 90º  ).

Чем больше сопротивление R, тем больше  добротность конденсатора и тем меньше угол потерь. Добротность конденсаторов, применяемых в радиотехнике, автоматике и приборостроении определяется сотнями и тысячами (величина tg δ для разных частот и диэлектриков колеблется в пределах от 10^-1 до 10^-4).

1.3 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае последовательного и параллельного соединений элементов R, L, C.

1.3.1 Последовательное соединение

Положим, что в уравнении Кирхгофа

       3.1

Заданными являются параметры R, L, C  и синусоидальное напряжение  на зажимах цепи, а искомой величиной является ток i .Ввиду того, что здесь рассматривается установившийся режим  цепи синусоидального тока, решение этого дифференциального уравнения должно дать синусоидальную функцию вида:

, где

, пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.

            Пусть заданное синусоидальное напряжение символизируется заданной комплексной функцией , а искомый синусоидальный ток – комплексной функцией , комплексные амплитуды напряжения и тока соответственно:

.

Сложение, дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций в уравнении 3.1 заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексных функций: 

Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата:  

Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Поэтому, заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берётся мнимая часть, должны быть равны друг другу. Произведя дифференцирование и интегрирование, получаем: