Исследование САУ напряжения синхронного генератора переменного тока, страница 8

901-1.732()

10.2.КРИТЕРИЙ  УСТОЙЧИВОСТИ  МИХАЙЛОВА

Это графический критерий, удобный для применения на практике. Он предложен в 1938 г советским ученым А.В. Михайловым и является по существу геометрической интерпретацией принципа аргумента. Пусть дано характеристическое уравнение, которое представляет собой  характеристический  полином:

Подставим в этот полином чисто мнимое значение P=jw, где w представляет собой угловую частоту колебаний. При этом получим комплексную функцию:

D(jw)=U(w)+jV(w),

где действительная часть будет содержать четные степени w:

а мнимая- нечетные степени

 

Изобразим D(jw) в виде годографа в комплексной плоскости (кривая 1 на рис.а). Этот годограф называется годографом Михайлова. К каждому значению w соответствуют определенные и и определенная точка на плоскости. При w=0 функция D(jw)=An, т.е. годограф начинается на действительной оси.

При  функция  неограниченно возрастает.

По критерию устойчивости А.В.Михайлова

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф D(jw), начинаясь на положительной действительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - порядок системы.

На рис, а годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3,4 и 5 - к неустойчивым системам. Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (штриховая кривая на рис).
          Действительно, в этом случае существует значение w, при котором D(jw)=0, т.е. характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней p=-/+jw. Последнее и обозначает наличие в системе незатухающих колебаний, т.е. нахождение ее на границе устойчивости. Незначительное изменение параметров системы, в результате чего годограф D(jw) на рис. 7,а отойдет влево или вниз от начала координат, делает систему устойчивой, а изменение параметров в другую сторону - неустойчивой. На рис 7,б приведены годографы устойчивых систем разных порядков до n=6.
          При практическом построении годографа D(jw) прежде всего находят точки его пересечения с координатными осями. Для этого, определив из уравнения =0 значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа D(jw) с мнимой осью, представляют их в выражение . В результате получают соответствующие ординаты.
          Аналогично находят точки пересечения D(jw) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть и подставляя затем найденные при этом значения w в выражение для .
         Собственно, после того как найдены значения w, при которых годограф D(jw) пересекает оси координат, т.е. найдены нули и , для суждения об устойчивости системы нет необходимости строить сам годограф. Из формулировки критерия Михайлова следует, что устойчивость имеет место, если нули и чередуются с ростом w, начиная с w=О, когда =О, а >0.
           Чтобы не иметь дело с высокими степенями w, построение годографа D(jw) можно производить по звеньям системы. Представим D(jw) таким образом:
             Где и - числитель и знаменатель амплитудно-фазовой частотной характеристики i-го звена приведенной одноконтурной системы.
              Согласно выражению (4-2), построение годографа D(jw) начинают с построения годографов и отдельных звеньев. Затем строят годографы и путем перемножения соответственно годографов и .
Годографы перемножают по обычным правилам перемножения векторов, как и при построении частотных характеристик цепочки звеньев по характеристикам отдельных звеньев. Для каждого значения w модули перемножают, а аргументы складывают.

Вывод: по критерию Михайлова САУ получилась неустойчивым.

Вывод: САУ получилась устойчивой по критерию Михайлова. Для того, чтобы САУ получилась устойчивой, нужно уменьшитиь коэффициент усиления.Уменьшим коээфициент усиления Ку=4 и получим

Следовательно,

10.3.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА-ГУРВИЦА