Исследование САУ напряжения синхронного генератора переменного тока, страница 9

В 1895 г. немецким математиком П. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ:

Из коэффициентов характеристического уравнения составляется определитель Гурвица

n-строк и n-столбцов по следующему правилу.

1-я строка состоит из нечетных коэффициентов

2-я строка состоит из четных коэффициентов

3-я строка, как и 1-я  строка, но сдвинута на 1 элемент справа

4-я строка, как и 2-я строка, но сдвинута на 1 элемент справа и т.д.

В результате по главной диагонали определителя Гурвица располагаются все коэффициентов от a до n.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется так:

замкнутая САУ устойчива, если определитель Гурвица  и все диагонали больше нуля: >0. Рассмотрим пример,

отчеркнем в главном определителе Гурвица пунктиром диагональные миноры, тогда получим определители Гурвица.

Теперь рассмотрим выполнение устойчивости по Гурвицу

1  минор: >0

2  минор: >0

3  минор: >0

Примечание. Если Δ < 0, то система неустойчива. В этом случае нужно при заданных параметрах системы изменить какой-либо один параметр (в нашем случае это Ку), и установить его значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой САУD(P)=0:

Исходные данные:

Из коэффициентов характеристического уравнения составляем определитель Гурвица:

Тогда:

1. минор:

2. минор: 

3. минор:

Вывод: Из полученных выражений следует, что все миноры получились отрицательными, и, следовательно, система неустойчивая, что и убеждается по критерию устойчивости Михайлова.

Итак, изменим исходные данные:

Из коэффициентов характеристического уравнения составляем определитель Гурвица:

Тогда:

1. минор:

2. минор: 

3. минор:

Вывод: Из полученных выражений следует, что все миноры получились положительными, и, следовательно, система устойчивая, что и убеждается по критерию устойчивости Михайлова.

11.Области D – разбиения

Под параметрами системы понимают постоянные времени, коэффициенты усиления отдельных звеньев. Некоторые из этих параметров не подлежат изменению, другие же могут изменяться с целью обеспечения устойчивости. Если система имеет s изменяемых параметров, то можно говорить об s - мерном пространстве варьируемых параметров. Точки, которым соответствует m правых и n-m левых корней характеристического уравнения n-й степени, образуют в пространстве параметров область, обозначаемую D(m). Область устойчивости соответственно обозначается D(0), и ее нахождение является целью исследования. Однако отыскать область устойчивости удается, как правило, лишь построив предварительно и все остальные D - области. Общая методика разбиения пространства на области с различным распределением корней предложена советским ученым Ю.И.Неймарком в 1948г. под названием D - разбиения.

В основе D - разбиения лежит нахождение уравнения и построение границы D - разбиения, разделяющей пространства параметров на D - области. Эта граница при большом числе изменяемых параметров s является s -мерной поверхностью, в честном случае при s<=2 представляет собой кривую в плоскости, называемую кривой D-разбиения. Граница D-разбиения в пространстве параметров является отображением мнимой оси плоскости корней. Поэтому для нахождения уравнения границы D - разбиения достаточно в характеристическом уравнении замкнутой системы заменить р на jw. Задавая значения от до , получим все точки пространства параметров, которым соответствует одни или несколько мнимых корней характеристического уравнения. Штриховка кривой D- разбиения по правилу дает выделить из всех D - областей такую область, всем точкам которой соответствует наибольшее количество левых корней в характеристическом уравнении. Эта область иногда называется претендентом на область устойчивости. Проверка системы на устойчивость, выполненная для любой точки области - прендента по любому из критериев устойчивости, позволяет ответить на вопрос, является ли область-претендента искомой областью устойчивости.