Криволинейные и поверхностные интегралы в пространстве

Страницы работы

15 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Криволинейные и поверхностные интегралы в пространстве

Ответ:1

Простая гладкая поверхность $ \Gamma$в $ \mathbb{R}^{3}$задается параметрически отображением $ (x,y,z)=\theta (u,v)\,,\;(u,v)\in D\subset \mathbb{R}^{2}$, ранг производной (матрицы Якоби) которого равен 2. Переменные $ u,v$называются локальными координатами на $ \Gamma$. Ориентация поверхности $ \Gamma$определяется как ориентация области изменения локальных координат (т.е. ориентацией пространства $ \mathbb{R}^{2}$). Например, изменение порядка локальных координат меняет ориентацию поверхности $ \Gamma$на противоположную. Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов, например,

$\displaystyle \tau_{1}= \frac{\partial\theta}{\partial u}\,,\qquad \tau_{2}=\frac{\partial\theta}{\partial v}\,,$

непрерывно зависящих от точки поверхности. Такое определение ориентации можно распространить и на поверхности, не являющиеся простыми. Наконец, ориентацию поверхности можно задать выбором вектора единичной нормали $ \mathbf{n}$, непрерывно зависящего от точки поверхности. При этом надо пользоваться соглашением: вектор $ \mathbf{n}$определяет ту же ориентацию, что и касательные вектора $ \tau_{1},\tau_{2}$, если базис векторов $ \mathbf{n},\tau_{1},\tau_{2}$задает ориентацию пространства $ \mathbb{R}^{3}$. О выборе вектора нормали говорят как о выборе стороны поверхности $ \Gamma$.

Ориентация связной области пространства $ \mathbf{R}^{3}$определяется как ориентация самого пространства $ \mathbb{R}^{3}$, т.е. выбором класса эквивалентных между собой базисов. При этом, два базиса векторов в $ \mathbb{R}^{3}$считаются эквивалентными, если переход от одного из них к другому осуществляется матрицей перехода, имеющей положительный определитель. Ориентацию пространства можно задать также выбором формы объема $ \Omega$-- невырожденной 3-формы. Форма $ \Omega$определяет ту же ориентацию, что и базис $ \mathbf{e}_{1},\mathbf{e_{2}},
\mathbf{e_{3}}$, если $ \Omega (\mathbf{e}_{1},\mathbf{e_{2}},
\mathbf{e_{3}})>0$.

Ответ: 2

Всякая простая поверхность допускает ориентацию. Простая гладкая поверхность $ \Gamma$в $ \mathbb{R}^{3}$задается параметрически отображением $ (x,y,z)=\theta (u,v)\,,\;(u,v)\in D\subset \mathbb{R}^{2}$, ранг производной (матрицы Якоби) которго равен 2. Переменные $ u,v$называются локальными координатами на $ \Gamma$. Ориентация поверхности $ \Gamma$определяется как ориентация области изменения локальных координат (т.е. ориентацией пространства $ \mathbb{R}^{2}$). Например, изменение порядка локальных координат меняет ориентацию поверхности $ \Gamma$на противоположную. Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов, например,

$\displaystyle \tau_{1}= \frac{\partial\theta}{\partial u}\,,\qquad \tau_{2}=\frac{\partial\theta}{\partial v}\,,$

непрерывно зависящих от точки поверхности. Такое определение ориентации можно распространить и на поверхности, не являющиеся простыми. Наконец, ориентацию поверхности можно задать выбором вектора единичной нормали $ \mathbf{n}$, непрерывно зависящего от точки поверхности. При этом надо пользоваться соглашением: вектор $ \mathbf{n}$определяет ту же ориентацию, что и касательные вектора $ \tau_{1},\tau_{2}$, если базис векторов $ \mathbf{n},\tau_{1},\tau_{2}$задает ориентацию пространства $ \mathbb{R}^{3}$. О выборе вектора нормали говорят как о выборе стороны поверхности $ \Gamma$.

Поверхность, не являющаяся простой может не быть ориентируемой. Это означает, что на этой поверхности не существует непрерывно зависящего от точки поверхности базисного репера $ \tau_{1},\tau_{2}$касательных векторов, определяющих ориентацию касательных плоскостей. Это же означает, что непрерывно перемещая вектор единичной нормали к поверхности по замкнутому пути можно так выбрать этот путь, что при возвращении в исходную точку направление вектора нормали изменится на противоположное. Такие поверхности называются односторонними. Односторонние поверхности не ориентируемы. Примером односторонней поверхности в $ \mathbb{R}^{3}$является лист Мебиуса.

\includegraphics{mebius.mps}

Рис.: Лист Мебиуса

В $ \mathbb{R}^{3}$все двусторонние поверхности являются ориентируемыми

Ответ:3а

 Гладкая кривая $ \Gamma$в пространстве $ \mathbb{R}^{3}$задается параметрически как образ некоторого гладкого пути $ \gamma (t),\;t\in[a,b]$, в координатном виде:

$\displaystyle x=x (t) ,\quad y=y(t) ,\quad z=z (t) .$


Если $ \gamma (a)=\gamma (b)$, край кривой пуст. В противном случае краем $ \partial\Gamma$кривой называется множество $ \{A,B\}$ее концов: $ \{A,B\}=\{\gamma (a),
\gamma (b)\}$.

Ориентацию кривой можно определить выбором одного из двух единичных касательных векторов

$\displaystyle \pm\frac{\gamma' (t)}{\vert\gamma' (t)\vert} ,$


непрерывно зависящих от точки $ \gamma (t)$кривой. Под ориентацией края кривой понимают упорядочение множества $ \partial\Gamma$.

Если касательный вектор $ \tau$задает ориентацию кривой $ \Gamma$, то согласованную ориентацию ее края $ \partial\Gamma$определяют как пару концов $ (A,B)$такую, что $ \tau (A)$является внутренним по отношению к краю вектором, т.е. $ \tau (A)\cdot \overrightarrow{AP}\geqslant0$для точек $ P$кривой, достаточно близких к точке $ A$.

Ответ:3б

Простая гладкая поверхность $ \Gamma$в $ \mathbb{R}^{3}$задается параметрически отображением $ (x,y,z)=\theta (u,v)\,,\;(u,v)\in D\subset \mathbb{R}^{2}$, ранг производной (матрицы Якоби) которого равен 2. Ее краем $ \partial\Gamma$называется образ границы области $ D$: $ \partial\Gamma=\theta (\partial D)$. Край поверхности это кусочно гладкая замкнутая кривая.

Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов, например,

$\displaystyle \tau_{1}= \frac{\partial\theta}{\partial u}\,,\qquad \tau_{2}=\frac{\partial\theta}{\partial v}\,,$


непрерывно зависящих от точки поверхности. Ориентацию края $ \partial\Gamma$задает ненулевой касательный вектор к краю $ \partial\Gamma$.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
575 Kb
Скачали:
0