Математика \ Математический анализ

Криволинейные и поверхностные интегралы в пространстве, страница 5

Ответ: 12

Пусть $ \omega$-- дифференциальная 3-форма, определенная на ориентированной области $ D$в $ \mathbb{R}^{3}$с координатами $ (x,y,z)$. Тогда $ \omega=f (x,y,z) dx\wedge dy\wedge dz$. Пусть отображение $ \theta:\; \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3}$определяет замену переменных на $ D$, сохраняющую ориентацию:

$\displaystyle x=x (u,v,w) ,\qquad y=y (u,v,w) ,\qquad z=z (u,v,w) , \qquad (u,v,w)\in B ,$

(ориентация области $ B$задается порядком координат $ u,v,w$). Подстановка этих соотношений в форму $ \omega$приводит к форме $ \theta^{*}\omega$на области $ B$:

$\displaystyle \theta^{*}\omega=f\circ\theta\cdot \frac{D (x,y,z)}{D (u,v,w)} du\wedge dv\wedge dw .$

На языке форм формула замены переменных в тройном интеграле примет вид

$\displaystyle \iiint\limits_{\theta (B)}\omega= \iiint\limits_{B} \theta^{*}\omega ,$

поскольку при сделанных предположениях относительно сохранения ориентации, якобиан замены переменных

$\displaystyle \frac{D (x,y,z)}{D (u,v,w)}$

положителен.

Ответ:13

Пусть $ \Gamma$-- одномерное, двумерное или трехмерное множество в $ \mathbb{R}^{3}$, допускающее клеточное разбиение. Это означает, что $ \Gamma$является объединением конечного числа клеток соответствующих размерностей, причем две разные клетки либо не пересекаются, либо их пересечением является их общая грань. Под клеткой понимается образ взаимно-однозначного гладкого в обе стороны отображения отрезка, квадрата или куба, соответственно. Грань клетки это образ, соответственно, конца отрезка, стороны квадрата или грани куба. Грани клеток, принадлежащие двум разным клеткам объединения $ \Gamma$называются внутренними, не внутренние грани клеток называются внешними и их объединение называется краем $ \partial \Gamma$множества $ \Gamma$.

Множество $ \Gamma$и его край считаются ориентированными согласованно, если ориентация края определяется следующей процедурой. Базис касательных векторов ориентации $ \Gamma$надо посадить на край (в гладкую точку) и сделать первый вектор базиса внешним к краю, а остальные векторы базиса сделать касательными к краю. Эти касательные к краю векторы и зададут согласованную ориентацию края.

Пусть теперь $ \omega$-- 0-форма, 1-форма или 2-форма, соответственно, определенная на $ \Gamma$. Тогда формула Стокса примет вид

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma}d\omega= \int\limits_{\partial \Gamma}\omega\,,$

где $ \Gamma$и $ \partial \Gamma$ориентированны согласованно.

Ответ: 14

Пусть $ \Gamma$-- гладкая ориентированная кривая с согласованно ориентированным краем $ \partial\Gamma=(A,B)$, где $ A$и $ B$-- начало и конец кривой $ \Gamma$.

Пусть теперь $ f$-- 0-форма, т.е. гладкая функция, определенная на $ \Gamma$. Запишем формулу Стокса для этого случая

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma}df= \int\limits_{\partial \Gamma}f\,.$

Запишем левую и правую части равенства в классических обозначениях

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma} \mathrm{grad\,}f\cdot \boldsymbol{dl}= f (B)-f (A)\,.$

Это и есть формула Ньютона-Лейбница для интеграла по кривой.

Ответ: 15

Пусть $ \Gamma$-- гладкая ориентированная поверхность с согласованно ориентированным краем $ \partial\Gamma$. Последнее означает, что если касательный базис $ (\tau_{1},\tau_{2})$посадить на край и сделать первый вектор $ \tau_{1}$внешней нормалью к краю, а второй вектор $ \tau_{2}$-- касательным к краю, то вектор $ \tau_{2}$и определит ориентацию края.

Пусть теперь $ \omega$-- 1-форма, определенная на $ \Gamma$. Запишем формулу Стокса для этого случая

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma}d\omega= \int\limits_{\partial \Gamma}\omega\,.$

В координатном виде

$\displaystyle \omega=A\,dx+B\,dy+C\,dz\,,$

$\displaystyle d\omega=dA\wedge dx+dB\wedge dy +dC\wedge dz= \begin{vmatrix}dy\w... ...\partial }{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ A& B& C \end{vmatrix}\,.$


В классических обозначениях $ \omega= \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dl}$и $ d\omega= \mathrm{rot\,} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dS}$, где $ \mathbf{F}= (A,B,C)$, $ \boldsymbol{dl}= (dx,dy,dz)$, $ \boldsymbol{dS}= (dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy)$. Учитывая связь интегралов 1 и 2 родов, формула Стокса может быть переписана в виде

$\displaystyle \iint\limits_{\Gamma} \mathrm{rot\,} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n} \,dS= \oint\limits_{\partial\Gamma} \mathbf{F}\cdot \tau\,dl\,.$

Здесь $ \mathbf{n}$-- единичный вектор нормали к поверхности $ \Gamma$, задающий ее ориентацию (векторы $ (\mathbf{n},\tau_{1}, \tau_{2})$образуют правую тройку), а $ \tau$-- касательный вектор ориентации $ \partial\Gamma$.

Полученная формула читается как: поток ротора через поверхность $ \Gamma$равен циркуляции вектора по краю поверхности.

Ответ: 16

Пусть $ \Gamma$-- замкнутая ориентированная область в $ \mathbb{R}^{3}$с гладким краем, ориентированным согласованно. Последнее означает, что ориентация края определяется касательным базисом $ (\tau_{1},\tau_{2})$таким, что векторы $ ( \mathbf{n},\tau_{1},\tau_{2})$, где $ \mathbf{n}$-- вектор внешней единичной нормали к $ \partial\Gamma$, образуют базис ориентации области.

Пусть теперь $ \omega$-- 2-форма, определенная на $ \Gamma$. Запишем формулу Стокса для этого случая

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma}d\omega= \int\limits_{\partial \Gamma}\omega\,.$

В координатном виде

$\displaystyle \omega=A\,dy\wedge dz+B\,dz\wedge dx+C\,dx\wedge dy\,,$

$\displaystyle d\omega=dA\wedge dy\wedge dz+dB\wedge dz\wedge dx + dC\wedge dx\wedge dy$

$\displaystyle = \left( \frac{\partial A}{\partial x}+ \frac{\partial B}{ \partial y}+ \frac{\partial C}{\partial z}\right)\, dx\wedge dy\wedge dz \,.$
Скачать файл