Криволинейные и поверхностные интегралы в пространстве, страница 3

$\displaystyle \omega=f (x,y,z)\,dx\wedge dy\wedge dz\,,$

где

$\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz ( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})= \begi... ..._{1}& v_{1}& w_{1}\\ u_{2}& v_{2}& w_{2}\\ u_{3}& v_{3}& w_{3} \end{vmatrix}\,.$

Базисная 3-форма $dx\wedge dy\wedge dz$ с точностью до знака вычисляет объем параллелепипеда, построенного на векторах-аргументах. Знак 3-формы определяет ориентацию соответствующих векторов.

Ответ: 6а

К алгебраическим операциям над формами относятся сложение форм, умножение их на функции и внешнее умножение форм.

Сложение форм одного порядка и их умножение на числовую функцию определяется стандартно и могут быть интерпретированы как сложение векторов и умножение вектора на число. Например, умножение 1-формы

$\displaystyle \omega=A (x,y,z)\,dx+B (x,y,z)\,dy+C (x,y,z)\,dz$

на функцию даст 1-форму

$\displaystyle f\omega=f (x,y,z) A (x,y,z)\,dx+f (x,y,z) B (x,y,z)\,dy+f (x,y,z) C (x,y,z)\,dz\,.$

Внешнее умножение $\wedge$ форм определяется по линейности с учетом следующих соглашений. Если $\alpha_{1},\ldots \alpha_{k},\beta_{1},\ldots\beta_{m}$ -- 1-формы, то $\alpha_{1} \wedge\ldots \wedge\alpha_{k}$ -- k-форма вида

$\displaystyle \alpha_{1}\wedge\ldots \wedge\alpha_{k} ( \mathbf{v}_{1},\ldots \mathbf{v}_{k}) =\det (\alpha_{i} ( \mathbf{v}_{j}))$

$\displaystyle (\alpha_{1}\wedge\ldots \wedge\alpha_{k})\wedge (\beta_{1}\wedge\... ...{1}\wedge\ldots \wedge\alpha_{k}\wedge \beta_{1}\wedge\ldots \wedge\beta_{m}\,.$

В трехмерном случае это ведет к равенствам

$\displaystyle (A\,dx+B\,dy+C\,dz)\wedge(P\,dx+Q\,dy+R\,dz)= \begin{vmatrix}dy\wedge dz&dz\wedge dx &dx\wedge dy\\ A&B&C\\ P&Q&R \end{vmatrix}$

$\displaystyle (A\,dx+B\,dy+C\,dz)\wedge(P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy)= (AP+BQ+CR)\,dx\wedge dy\wedge dz\,.$

Ответ: 6б

0-формы на плоскости -- это просто функции двух переменных.

1-формы на плоскости это линейные функции, зависящие от точки плоскости. Они образуют двумерное линейное пространство с базисом и координатами, зависящими от точки плоскости.

2-формы на плоскости это билинейные антисимметричные функции, зависящие от точки плоскости. Они образуют одномерное линейное пространство с базисом $dx\wedge dy$ и координатами, зависящими от точки плоскости. Значение базисной 2-формы на паре векторов $(\mathbf{v}, \mathbf{w})$ равно определителю, составленному из координат этих векторов:

$\displaystyle dx\wedge dy ( \mathbf{v},\mathbf{w})= \begin{vmatrix}v_{1}&w_{1}\ v_{2}& w_{2} \end{vmatrix} .$

Внешнее умножение $\wedge$ двух 1-форм это 2-форма, определенная равенством

$\displaystyle (A dx+B dy)\wedge (P dx+Q dy)= (AP-BQ) dx\wedge dy .$

Эта операция линейная и антикоммутативная:

$\displaystyle (\alpha+\beta)\wedge\gamma=\alpha\wedge\gamma+\beta\wedge\gamma , \qquad \alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha ,$

где $\alpha,\beta,\gamma$ -- некоторые 1-формы. В частности, $\alpha\wedge\alpha=0$ .

Ответ: 7а

Если $\omega$ -- дифференциальная -форма, ее внешний дифференциал обозначается через $d\omega$ и является формой порядка . Эта форма определяется следующим образом. Внешний дифференциал 0-формы есть дифференциал функции :

$\displaystyle df= \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+ \frac{\partial f}{\partial y}\,dy +\frac{\partial f}{\partial z}\,dz\,.$

Внешний дифференциал 1-формы $\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ есть 2-форма вида

$\displaystyle d\omega= dP\wedge dx+dQ\wedge dy+dR\wedge dz= \begin{vmatrix}dy\w... ...c{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}\,.$

Внешний дифференциал 2-формы $\omega=P\,dy\wedge dz+ Q\,dz\wedge dx +R\,dx\wedge dy$ равен

$\displaystyle d\omega= dP\wedge dy\wedge dz+dQ\wedge dz\wedge dx+ dR\wedge dx\w... ...Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)\,dx\wedge dy\wedge dz\,.$

Внешний дифференциал 3-формы (в $\mathbb{R}^{3}$ ) равен нулю.

Внешнее дифференцирование является линейной операцией и удовлетворяет правилу Лейбница

$\displaystyle d (\alpha\wedge\beta)= (d\alpha)\wedge\beta+ (-1)^{k}\alpha\wedge (d\beta)\,,$

где -- порядок формы $\alpha$ .

Ответ:7б

Внешний дифференциал функции или, что то же, 0-формы есть дифференциал функции :

$\displaystyle df= \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+ \frac{\partial f}{\partial y}\,dy \,.$

Это 1-форма или, иначе, линейная функция в базисе с коэффициентами, зависящими от точки плоскости и равными в данном случае частным производным функции .

Внешний дифференциал 1-формы $\omega=P\,dx+Q\,dy$ есть 2-форма вида

$\displaystyle d\omega= dP\wedge dx+dQ\wedge dy= \frac{\partial P}{\partial y}\,... ...ac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\wedge dy\,.$

Внешний дифференциал дифференциала функции равен нулю (лемма Пуанкаре) -- это следствие равенства смешанных производных, взятых в разных порядках.

Ответ: 8

Если $\omega$ -- дифференциальная -форма, ее внутреннее произведение на вектор $\mathbf{v}= (v_{1},v_{2},v_{3})$ обозначается через $\imath_{\mathbf{v}}\omega$ и является формой порядка . Эта форма определяется следующим образом. Внутреннее произведение 0-формы на $\mathbf{v}$ есть 0. Внутреннее произведение 1-формы $\omega=P dx+Q dy+R dz$ на $\mathbf{v}$ есть 0-форма вида

$\displaystyle \imath_{\mathbf{v}}\omega= Pv_{1}+Qv_{2}+Rv_{3} =\omega ( \mathbf{v}) .$

Внутреннее произведение 2-формы $\omega=P dy\wedge dz+ Q dz\wedge dx +R dx\wedge dy$ на $\mathbf{v}$ равно 1-форме

$\displaystyle \imath_{\mathbf{v}}\omega=Pv_{2} dz-Pv_{3} dy+Qv_{3} dx-Qv_{1}... ...{2} dx= \begin{vmatrix}dx& dy& dz P&Q&R v_{1}&v_{2}&v_{3} \end{vmatrix} .$

Внутреннее произведение 3-формы $\omega=f dx\wedge dy\wedge dz$ на $\mathbf{v}$ равно 2-форме

$\displaystyle \imath_{\mathbf{v}}\omega=fv_{1}dy\wedge dz-fv_{2}dx\wedge dz+fv_{3}dx\wedge dy .$

Внутреннее произведение $\omega$ на $\mathbf{v}$ можно определить как новую функцию векторных аргументов, которая получается из функции $\omega$ , если первый векторный аргумент функции $\omega$ фиксировать как вектор $\mathbf{v}$ .

Внешнее умножение является линейной операцией и удовлетворяет правилу Лейбница

1 2 3 4 5 6

Скачать файл