Физика \ Физика

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, страница 6

(11.28)

Уравнение движения нерелятивистской частицы в магнитном поле при наличии вязкого трения.

(11.29)

Конкретный вид операторов (11.23) и (11.25).

(11.30)

Характеристическое уравнение и его корни.

(11.31)

Общее решение системы (11.28). 9 констант Сxh подлежат определению из начальных условий.

(11.32)

Система уравнений для определения значений констант С. (для справки после каждого уравнения в косых скобках приведено условие, из которого это уравнение получено). В качестве аргумента у оператора Á приведено то значение корня характеристического уравнения l, подстановка которого в исходную систему для набора коэффициентов С приводит к указанному равенству).

(11.33)

Зависимость от времени декартовых компонент скорости частицы в магнитном поле при наличии вязкого трения.

11.4. Движение заряженных частиц в постоянных электрических и магнитных полях (неоднородные системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами)

              Добавление в нерелятивистское уравнение движения заряда в магнитном поле (11.22) еще одного слагаемого, описывающего действие электрической силы, превращает рассмотренную систему линейных дифференциальных уравнений в неоднородную (11.34). Стандартный метод решения подобных систем состоит в следующем.

              Общее решение такой системы может быть построено как сумма общего (т.е. зависящего от определяемых из начальных условий констант) решения соответствующей однородной системы и какого угодно частного решения неоднородной системы (11.36). Действительно, в силу линейности дифференциального оператора Â указанная сумма превращает неоднородную систему (11.35) в набор верных тождеств, количество же произвольных констант, входящих в общее решение однородной системы оказывается ровно таким, чтобы удовлетворить всем начальным условиям. В случае независящей от времени правой части системы (рассматриваемая физическая задача как раз относится к такой ситуации) в качестве частного решения неоднородной системы удобно использовать независящее от времени решение (11.37).

              В рассматриваемом случае движения частиц в постоянных электрическом и магнитном полях при наличии вязкого трения решение однородного уравнения экспоненциально затухает во времени. Т.о. на достаточно больших временах (в установившемся режиме) движение частицы будет представлять собой дрейф с постоянной скоростью вдоль линий электрического поля (11.38), причем его скорость не зависит от начальных условий. Характер переходного процесса определяется значениями констант, входящих в решений однородного уравнения, т.е. начальными условиями.

              Определенный интерес представляет движение в постоянных полях при отсутствии трения. В случае скрещенных (взаимно перпендикулярных) постоянных электрического и магнитного полей движение частицы представляет собой суперпозицию вращательного движения вокруг линий магнитного поля и равномерного движения в перпендикулярном векторам E и B направлении и постоянной дрейфовой скоростью, определяемый отношением величин этих векторов (11.39).  Описанный результат, разумеется может быть получен непосредственно из анализа общего решения неоднородной системы. Однако существует и более изящный метод, состоящий в переходе в систему отсчета, движущуюся  с дрейфовой скоростью. В  этой системе отсчета уравнение движения частицы в скрещенных полях превращается в  постоянном магнитном поле (11.40).

Скачать файл