Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Лекция 11

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

11.1.   Уравнение движения

              В случаях, когда квантовомеханические эффекты несущественны, описание движения заряженных частиц в электромагнитных полях может строиться на базе второго закона Ньютона в импульсной формулировке (11.1), применимого не только в классическом приближении, но и в релятивистском случае. В качестве сил, действующих на частицу следует рассматривать электрические, магнитные и диссипативные силы, вводимые для описания потерь механической энергии движущимся зарядом (11.2). Последние обычно считаются пропорциональными скорости движения частиц (аналогичная зависимость возникает при медленном движении тел в вязкой жидкости). В случае движения заряженных частиц в электромагнитных полях выбор линейной зависимости от скорости величины диссипативной скорости силы обусловлен двумя причинами. Первая состоит в том , что с токи зрения решения дифференциальных уравнений наличие в них линейных слагаемых всегда предпочтительно. Вторая причина имеет более глубоких физический смысл: потери механической энергии частицами, движущимися с ускорением, обусловлены излучением ими электромагнитных волн. Приближенное выражение для соответствующей силы радиационного трения может быть получено в рамках последовательной релятивистской теории и оказывается пропорциональным производной по времени от ускорения (11.3.). В часто встречающихся на практике случаях гармонических колебаниях и при движении по окружности (последнее сводится к двум взаимно перпендикулярным гармоническим колебаниям) вторая производная от скорости оказывается пропорциональной самой скорости, что в некоторой степени и оправдывает сделанный выбор для зависимости диссипативной силы.(11.4).

              Следует иметь ввиду, что эффект радиационного трения имеет релятивистскую природу, что часто приводит к противоречиям при попытках его классического толкования. Например, возникает проблема выбора второго тела, взаимодействие с которым приводит к возникновению сил радиационного трения. Другим примером возникающих трудностей является получающийся при подстановке одной только силы радиационного трения в классическое уравнение движения явно абсурдный результат, соответствующий саморазгону заряженной частицы в пустом пространстве. Последний означает, что учет этой силы оправдан только в тех случаях, когда  она проявляется на фоне других, более эффективных сил.

              В приближении малых скоростей уравнение движения заряда в постоянном магнитном и пространственно однородном электрическом поле при наличии сил вязкого трения с точки зрения математики представляет собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно декартовых компонент вектора скорости. Поскольку подобные системы уравнений весьма часто встречаются в физике, представляется целесообразным на частных примерах движения частиц в электромагнитных полях познакомиться с общими методами их решения. При решении уравнения движения полезно иметь ввиду теорему существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения порядка N, для которого поставлено N начальных условий.

Пример 11.1. Движение релятивистской частицы в электростатическом поле

Найти зависимость от времени скорости релятивистской частицы, влетающей в однородное электрическое поле перпендикулярно его линиям.

Решение:

              Сохраняя в правой части уравнения движения (11.1) только одно слагаемое, отвечающее кулоновским силам, легко получить, что при движении в однородном электростатическом поле импульс частицы является линейной функцией времени (11.5).

                               В нерелятивистском приближении полученный результат означает, что направленная по полю составляющая скорости частицы линейно возрастает во времени, а перпендикулярная составляющая остается неизменной (11.6).