Числовые ряды. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Приложение рядов, страница 8

то функцию f(x) можно записать по формуле Тейлора

 (14.6)

при , или по формуле Макларена

          (14.7)

Разложение в ряд Макларена основных элементарных функций

1.   . Используем формулу (14.3). Так как 

то по формуле (14.3) имеем

.      (14.8)

Находим радиус сходимости.

т.е. область сходимости ряда (14.8) .

2.  f(x) = sin x. Вычислим производные и их значения в нуле

                      

…   …   …   …   …   …   …   … .

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка , i= 1, 2, … . По формуле (14.7)

 .                    (14.9)

Область сходимости

3.  f(x)= cos x. Аналогично получаем

 .                     (14.10)

Область сходимости .

4.  , где . Вычислим производные и их значения в нуле

         

По формуле (14.3) находим

 .(14.11)

Интервал сходимости ряда (-1; 1) (на концах интервала при  сходимость ряда зависит от конкретных значений m.

5.  f(x)=ln(1+x)

Известно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем q=x при |x|<1 вычисляется по формуле

                                (14.12)

На последнее равенство можно смотреть как на разложение функции  в сте­пенной ряд.

Полагая в равенстве (14.12) , получаем

                     (14.13)

Интегрируя почленно равенство (14.13) в интервале (0; х), где |x|<1, получаем

Отсюда

или

                     (14.14)

Область сходимости .

6.  . Положим в разложении (14.12) , получим

 .

Интегрируя последнее равенство в пределах от 0 до х , где , получаем

,

или

Так как arctg 0=0, то окончательно имеем

 ,    (14.15)

Область сходимости . В частности, при х=1 получаем

14.2. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, приближенно вычисляют некоторые “неберущиеся” определенные интегралы, интегрируются дифференциальные уравнения. Приведем примеры.

Пример 1. Вычислить sin 1. Пологая в разложении (14.9) х=1, получаем

Если отбросить все члены, начиная с 4-го, то погрешность будет по абсолютной величине меньше  (так как ряд для sin 1 есть ряд знакочередующийся). Отсюда  с точностью до 0,0002.

Пример 2. Вычислить .

Преобразуем это выражение . Используем разложение (14.11), полагая ;

По таблицам =2,0801.

Пример 3. Вычислить “не берущийся ” интеграл .

Решение. Разделив почленно ряд (14.9) на х, получим

 .

Отсюда, интегрируя почленно, получим

 

Так как ряд знакопеременный и модули его членов монотонно убывают, то ограничившись тремя членами, получаем, что погрешность меньше .

Пример 4. Найти 3 отличных от нуля члена разложения решения дифференциального уравнения  в степенной ряд.

Решение. Решение дифференциального уравнения ищем в виде степенного ряда

.                   (*)

Подставляя начальные условия, находим  1=.

Подставляем разложение (*)в исходное уравнение, вычисляя предварительно

 ,

получаем,

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части последнего равенства получаем систему уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов разложения

Тогда искомые три члена разложения решения уравнения в степенной ряд запишутся .

У П Р А Ж Н Е Н И Я

1.  Разложить в степенной ряд по степеням х функции:

а);    б);      в);

  г);   д)       е).

2.  Вычислить приближено с точностью до 0,0001:

а)  б)          в);

г)                     е).

3.  Вычислить приближенно,  взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:

а);   б);              в).

4.  Найти три первых (отличных от нуля) членов разложения в степенной ряд решений данных уравнения при указанных начальных условиях:

а) б).