Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональной дроби, страница 4

, где  – элемент (бесконечно малая величина первого порядка) длины линии.

Б) Параметрическое задание функции.

Пусть на множестве точек  задана функция . Требуется вычислить длину линии . Поскольку  и , , то

 и .

3.  Объём тела вращения.

Пусть функция  непрерывна на множестве , тогда объём  тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , ординатами в точках a и b и отрезком оси Ох от a до b может быть найден по формуле

.

Действительно, при вращении этой трапеции около оси абсцисс каждая точка  этой оси является центром круга, а ордината  – радиусом этого круга. Площадь круга при этом равна . Умножив последнюю величину на , получаем величину объема цилиндрического тела . Для нахождения объёма составим интегральную сумму

 и при  получим

.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция  определена в промежутке  и  в любой его части  имеет смысл при любом .

Если при  для этого интеграла существует определённый конечный предел, то его называют интегралом функции  в промежутке от до  и обозначают символом .

В этом случае говорят, что интеграл существует или сходится. В отличие от определённого (собственного) интеграла только его введённый интеграл называется несобственным. Если предел  бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется,  равно как и интеграл функции  от -∞ до ∞: .

Взяв любое a, положим . Переходя к пределу, получим  и существование левой части равносильного существованию обоих интегралов справа.

Пусть, например,  – непрерывная функция в промежутке  и для неё существует первообразная , тогда по формуле Ньютона-Лейбница

Отсюда,

 и, очевидно, что вычисление несобственного интеграла проводится в два этапа: сначала вычисляется определённый интеграл, затем находится его предел при .

Необходимый и достаточный признак сходимости несобственного интеграла с бесконечным пределом от положительной функции.

Для существования несобственного интеграла  в случае положительной функции необходимо и достаточно, чтобы интеграл  при возрастании А оставался ограниченным , (). Если же это условие не выполнено, то несобственный интеграл равен ∞.

Необходимость. Если  сходится, то выполняется признак .

Так как  сходится, то по определению существует его конечный предел, равный ??? L.

. С другой стороны, имеет место очевидное неравенство . Учитывая сходимость, получим искомый признак .

Достаточность. Если , то  сходится. Так как , то по условию теоремы  – монотонно возрастающая функция (с увеличением А) и ограниченная, то по признаку существования предела, её предел при  существует и является числом.

В противоположном случае, то есть при , функция , с увеличением А, становится больше любой сколь угодно большой величиной L или по определению является бесконечно большой величиной.

Теорема сравнения.

Если, хотя бы при  имеет место неравенство , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости  следует расходимость . Так как , где С₁ – величина, равная значению предельного интеграла от функции , то сходимость  следует из сходимости .

По условию при   и . Поскольку сходится, то любой интеграл из промежутка  также сходится и  по необходимому и достаточному признаку. Поэтому и  также сходится.

Если же  расходится, то  и из неравенства:  следует  расходимость .

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Рассмотрим функцию , , для которой существует , то есть этот интеграл является определённым. В то же время  не существует (). И точка b называется особой точкой функции  для .

Например,  – несобственный интеграл, точка х=1 – особая точка,  – определённый интеграл при .

Если для интеграла  при  существует определённый конечный предел, то его называют интегралом функции  от a до b и обозначают . При этом говорят, что интеграл существует или сходится. В противном случае говорят, что интеграл не существует или расходится.