Механохимические аппараты и методы оценки их эффективности: Учебное пособие, страница 12

3.1. Модель диспергации

Увеличение удельной поверхности порошков твердых веществ путем измельчения в мельницах с целью повышения скорости какого-либо процесса (каталитической активности, спекания, экстракции и т. д.) является непременной стадией многих химических технологий создания новых материалов. Измельчение твердых тел – довольно энергоемкая операция, поэтому даже небольшое увеличение эффективности может дать ощутимый экономический эффект. Для описания процессов измельчения вещества предложена модель диспергации [46], в которой все параметры приводятся в аналитическом виде и выражаются как функции от числа шаров, их массы, радиуса и скорости, от объема барабана, от начальных и конечных размеров частиц твердого вещества и от их механических параметров (модуля Юнга и коэффициента Пуассона). Выполненные с помощью данной модели расчеты позволили найти оптимальные условия для измельчения вещества в аппаратах АГО-2, АПФ и FRITSCH и сравнить эффективность их воздействия.

При построении модели был использован постулат, предложенный в работе [23], о замене большого числа различающихся по интенсивности и длительности импульсов механического воздействия на то же количество импульсов со средней интенсивностью и длительностью.

Рассмотрим конкретную модель бинарных столкновений Nш шаров радиусом Rш со средней скоростью uш в объеме барабана Vб . Предположим, что в начальный момент времени обрабатываемый материал состоял из n частиц со средним радиусом rmax , причем при ударе эти частицы раскалываются на частицы со средним радиусом rmin. Такой подход обоснован известным фактом [49, 50], что диспергация приводит к двухпиковой картине распределения частиц по размерам.

Модель, предлагаемая в работе [23], допускает, что все частицы радиусом rmax, попадая под удар, раскалываются на частицы радиусом rmin. Чтобы учесть влияние силы механического воздействия и механических параметров обрабатываемого материала, предположим (рис. 4), что из n1 частиц радиусом rmax, попадающих под удар, только k1n1 частиц раскалываются до радиуса rmin, где k1 < 1.

Величина k1 определяется [51] из отношения количества частиц, попавших под удар в зоне площадью S1 (рис. 4) и расколовшихся n к общему числу частиц, попавших под удар в зоне площадью S0

k1 = np / n1.                                   (4)

Рис. 4. Схема соударения шаров и частиц материала при механической обработке

Допустим, что n частиц радиусом rmax, как и шары, распределены по всему объему барабана равномерно, тогда плотность частиц в свободном объеме распределяется как r = n/Vсв , где Vсв = VбVш , Vб – объем барабана, Vш – объем шаров, равный 4/3 p Rш3 Nш. Тогда число попавших под удар частиц n1 описывается выражением

                                              (5)

где

Число частиц, не расколовшихся после первого удара и попавших в пространство вне зоны S1, но в пределах зоны S0 (рис. 4) равно n01 =
= n1k1n1 = n1 (1 – k1), после второго удара – n02 = 1 (1–k1) – k1 (n1 (1–k1)) = = n1 (1–k1)2, после i-го удара –

n0i = n1(1-k1)i.                                 (6)

Согласно кинетической теории газов [52] число ударов за 1 с равно z = 1/q ~ R2uN 2, тогда число ударов за время t равно i = t/q. В данном случае вместо N  2 следует взять величину  учитывающую вместимость барабана (Vм – объем материала). Действительно, соударений шаров не будет, если Nш = 0, либо Vб = Vм, либо Nш = Nmax = ). Отсюда число нерасколовшихся частиц равно

                              (7)

Так как общее количество частиц состоит из совокупности исходных и расколовшихся, следовательно, в целом площадь внешней поверхности равна

                                          (8)

Полагая, что np = nn0 , получим

                  (9)

В случае, если расколов нет, rmax = rmin и Sвн = 4.

Обозначая

            

                                       

получаем выражение для расчета площади внешней поверхности с параметрами модели a и t:

                 (10)

где t0 = tlna.