Гармонические колебания, уравнения, график, параметры. Электромагнитные свободные колебания. Автоколебания, страница 9

                                         F= -mg sin α

При малых углах отклонения (а мы будем изучать колебания только с малыми углами отклонения)

sin α ≈

Поэтому

F= -mg = - x

Величина  - постоянна. Обозначим её через k. Тогда

F= -kx

Таким образом, несмотря на то, что колебания идеального пружинного маятника и математического маятника вызываются силами, имеющими разную природу (сила тяжести и сила упругости), закон изменения возвращающей силы одинаков. Подмеченная закономерность является характерным признаком колебательной системы, в которой свободные колебания являются гармоническими.

Она состоит в том, что возвращающая сила пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и всегда направлена в сторону равновесия. Так как по второму закону Ньютона

F=ma,

то

 

Эта связь между мгновенными значениями ускорения и смещения тела является основным уравнением гармонических колебаний.

2  Энергетические преобразования при свободных колебаниях. Отведём маятник (рис. 8)  на небольшой угол а из положения устойчивого равновесия. Этим мы сообщим маятнику дополнительную потенциальную энергию

W_п = mgh_m

где h_m - максимальное значение высоты подъёма маятника. Отпустим маятник. Под действием поля тяготения и силы упругости нити маятник будет двигаться к положению равновесия. При этом его потенциальная энергия превращается в кинетическую. В положении равновесия вся сообщённая маятнику потенциальная энергия превратится в кинетическую (рисунок   8):

                                                             

Где v_m  - максимальное значение скорости движения тела, подвешенного к нити. Дойдя до крайнего левого положения, маятник начнёт двигаться в обратном направлении. Энергетические преобразования при этом повторяются.

При отсутствии сил трения по закону сохранения энергии максимальное значение потенциальной энергии равно максимальному значению кинетической энергии:

                                                        mgh_m =        

Итак, при колебаниях маятника происходит периодическое

превращение потенциальной энергии в кинетическую и кинетической в потенциальную:

W_п → W_к → W_п → W_к→ W_{п …}

Интересно отметить, что за один период колебаний маятника

происходит два цикла превращения энергии. По закону сохранения и превращения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии маятника остаётся постоянной:

E = W_к+ W_п = const

В крайнем положении кинетическая энергия маятника равна нулю, а потенциальная энергия максимальна и равна его полной энергии:

E = mgh_m

Для того чтобы подсчитать полную энергию маятника, опишем вокруг точки подвеса окружность радиусом, равным длине маятника l
(рисунок 9). Продолжим линию подвеса маятника в положении равновесия до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точку D с точкой B. Нетрудно доказать, что образовавшийся при этом треугольник ABC подобен треугольнику BCD(оба они прямоугольные и имеют равные углы при вершинах B b D) Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон:

 

 

или

откуда:

Подставив значение H_m в формулу E = mgH_m,получим:

                                                                                         ,

где  - постоянная величина.

Мы видим, что полная энергия маятника пропорциональна квадрату амплитуды его максимального смещения:

                                                    

В случае пружинного маятника его кинетическая энергия в крайнем положении равна нулю, а потенциальная имеет максимальное значение и равна полной энергии маятника:

 

Заменив в этой формуле возвращающую силу по закону Гука через F_m=kx_m,  получим: