Электротехника \ Электродинамика и распространение радиоволн

Хвилеводи. Спрямовуючі системи та спрямовані хвилі. Двоплощинний хвилевід. Порядок визначення складових поля спрямованих хвиль, страница 8

При переході, наприклад, від хвилі до хвилі картина поля у напрямку х подвоюється (порівняйте рис 1.9.1а та 1.9.2а). аналогічне подвоєння у напрямку х (подвоївся перший індекс) бачимо з порівняння рис 1.9.2б з 1.9.3а, рис. 1.9.2в з 1.9.3б.

При зростанні удвічі других індексів (перехід до хвиль та ) подвоїлись би картинки у напрямку у, зображені на рис. 1.9.3.

1.10 Круглий хвилевід

Круглий (циліндричний) хвилевід, у якому можуть поширюватись хвилі та типів, представляє собою металеву круглу трубу (циліндр). При аналізі круглих циліндричних хвилеводів доцільно використовувати циліндричну систему координат, розташувавши їх так, як показано на рис. 1.10.1.

Рисунок 1.10.1

1.10.1 Хвиля електричного типу

Запишемо рівняння Гельмгольця для хвиль електричного типу циліндричної системи координат:

(1.10.1)

Розв’яжемо рівняння (1.10.1) методом розділення змінних за Фур’є.

Покладемо, що

(1.10.2)

де.

Помножимо (1.10.1) на , підставимо у нього (1.10.2) і розділимо отриманий результат на . Тоді отримаємо:

Розділимо останнє рівняння на і отримаємо:

.. (1.10.3)

Три перших доданки у виразі (1.10.3) є функціями лише координати (у дужках), а четвертий – функцією координати . Оскільки є незалежними змінними, то у останньому виразі маємо суму двох взаємно – незалежних функцій, яка дорівнює нулю. Це можливо, коли кожна з цих функцій буде дорівнювати одному і тому самому постійному числу, але взятим з протилежними знаками:

Якщо перше з цих рівнянь помножити на , отримаємо:

. (1.10.4)

Помноживши друге на , матимемо:

. (1.10.5)

Розв’язком рівняння (1.10.5), як відомо з математики, є функція:

де , .

Оскільки при дослідженні поширення хвиль в круглому хвилеводі вибір початку відліку є довільним, покладемо і тоді:

. (1.10.6)

Число може приймати значення 0, 1, 2, 3,…

Рівняння (1.10.4) досліджувалось німецьким математиком Бесселем. Показано, що його розв’язком є функція:

, (1.10.7)

де - функція Бесселя 1-го роду m – го порядку, - функція Бесселя 2-го рода m – го порядку (останню ще називають функцією Неймана m – го порядку). Порядок цих функцій визначає той самий коефіцієнт m, який входить у вираз (1.10.6). Число m визначає кількість варіацій поля вздовж координатної лінії циліндричної системи координат, у якій розглядається спрямовуюча система (хвилевід).

Рисунок 1.10.2

На рис 1.10.2 показані графіки функцій та при та . Координати точок перетину цих кривих з віссю абсцисс є коренями відповідних функцій.

Як бачимо, при , в усіх точках хвилеводу, які лежать на осі OZ, . Тобто функція R, а отже і є нескінченно – великими, що суперечить здоровому глузду, бо з точки зору фізики поле може мати лише скінченні значення його складових. Таким чином, при дослідженні процесів у круглих хвилеводах у розв’язку (1.10.7) маємо покласти . Тоді його вигляд буде таким: