Случайные величины и законы их распределения, страница 4

Математическое ожидание не характеризует рассеивание случайной величины. Этому служит дисперсия.

Д[Х]=_i=1∑ⁿ(x_i-M[X])²p_i  - для дискретных значений.

Д[Х]=_-∞∫^+∞(х_i- M[X])²f(x)dx  - для непрерывных величин.

Но и дисперсия ненаглядна – квадрат, а это большая величина . Поэтому есть числовая характеристика – среднее квадратическое отклонение.

                                            σ = √[Д].

                                           Для выше рассмотренного примера:

Д[Х]= (50-52,6)²*0,1+(51-52,6)²*0,2+(53-52,6)²*0,4+(54-52,6)²*0,3=1,84

                                                σ = √1,84=1,356.

                                           Закон больших чисел

                                           При достаточно большом количестве испытаний частота событий и среднее значение случайной величины становятся устойчивыми.

                                           Теорема Чебышева гласит: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходятся по вероятности к ее математическому ожиданию.

                                           Законы распределения дискретных случайных величин

                                           Биноминальное распределение. Оно хорошо описывает число назначение в прибывающих поездах, число поездов, прибывающих на станцию за определенное время и др. Функция распределения

                                           Р(Х=к)=С_n^kp^kq^n-k       (k=0,1,2,…,n),

Где С_n^k- количество возможных сочетаний из k по n

                                           C_n^k=n!/k!(n-k)!

                                           Например, вероятность наличия в поезде вагонов на рассматриваемое назначение 0,5. Следует определить вероятность, что в 3 поездах из 5 есть такие вагоны  

 

                                                         Р(3)= (5!/3!(5-3)!)0,5³*0,5²=(120/6*2)*0,125*0,25=0,625

                                           Математическое ожидание М[Х]=np=0,5*5=2,5

                                           Дисперсия Д[Х]=npq=1

                                           Среднее квадратическое отклонение σ= √Д[Х]=1

                       Распределение Пуассона

                                           Данное распределение хорошо согласуется при очень малой вероятности появления событий (вызовы абонентов  телефонной сети)

                                           Р(m)=(a^m/m!)*е^-а,

Где а =λ*t –математическое ожидание;

λ – интенсивность потока;

m –случайная величина (количество заявок)

                                           для распределения Пуассона М[Х]=λt=Д[Х].

Пример: В час на телефонную станцию поступает 10 вызовов. Какая вероятность, что поступит 2 вызова?

                                           Р(2)=(10²/2)*е^-10=(100/2)*1/8472=0,059.

                                           Полиноминальное распределение

Это разновидность Биноминального. С его помощью можно рассчитать вероятность того, что  событие А₁ появится х₁ раз, событие А₂ – х₂ раз и т.д.

                                           Р(х₁+х₂+….+х_n)= C_n^x₁^+x₂^+…x_n*p₁^x₁p₂^x₂…p_n^x_n.