Исследование бруса, нагруженного внешними моментами и осевыми силами, страница 2

Составим уравнение совместимости деформаций, приравняв к нулю перемещения правого конца вала к нулю.

                         φ_В = Δφ₁ + Δφ₂ +  Δφ₃ +  Δφ₄ = 0;

                φ_В = + + + = 0.

Составим выражения для крутящих моментов:

T_k1 = M_В;

T_k2 = ­M_В + M ₂ ;

T_k3 = M_В  + M ₂  ­– m·z ₃;

T_k4 = M_В + M ₂ – m·l.

Тогда уравнение совместимости деформаций для правого конца вала примет вид:

φ_В =  +   + +   = 0                    

    +  +   +­   + –   +   +  ­–           –   = 0.

          Разделим полученное выражение на l и умножим на G:

+   +  +   +­   + –   +   +  ­–   = 0.

Подставим  найденные значения в получившееся выражение и найдем М_В:

  +  +   +   + –   +  

+    + ­–   = 0;

2,13·10⁷·М_В = ­– 1,94·10⁹;

М_В = – 91,2 (Н·м).

Знак « – » говорит о том, что момент М_В направлен не как на рис 1.3, а в противоположную сторону.

Проверим решение, составив уравнение статики:

           ∑M_z = 0;     – M_A + m·l – M₂ – M_В = 0.

Подставляем значения:

                       –291 + 1100·0,5 – 350 ­+ 91≡ 0   

Реакции найдены верно.

Определим крутящие моменты:

T_k1 = –M_A = –291 (Н·м);                                                         

                                                       

                T_k2 = –M_A + m·(z₂ – l);

               

                   T_k2(z₂=l) = –291 (Н·м);

                   T_k2(z₂=2l) = –291+1,1·10³·0.5 = 259 (Н·м);

T_k3 = – M_A + m·l = –291 + 1,1·10³·0,5 = 259 (Н·м);

T_k4 = – M_A + m·l – М₂ = –291 + 1,1·10³·0,5 – 0,35·10³ = –91 (H·м).

Находим максимальные касательные напряжения:

τ ^max = ;

 

τ₁ ^max =  = – 19,7 (МПа);

 

τ₂ ^max(z₂ = l) =  =  = –  44,4 (МПа);

 

τ₂ ^max(z₂ = 2l ) =   = 39,5 (МПа);

τ₃ ^max =  = = 25,6 (МПа);

τ₄ ^max = =  = – 6,15 (МПа);

Находим относительные углы закручивания:

θ =  ;

θ₁ =  =  =­ – 11,7·10^–3 (рад/м);

θ₂ (z₂=l )= =  = – 34,6·10^–3  (рад/м);

θ₂ (z₂=2l) =  =  =30,8·10^–3  (рад/м);

θ₃ =  =17,3·10^–3  (рад/м);

θ₄ =  = – 3,66·10^–3  (рад/м).

Находим абсолютные углы закручивания:

Δφ = θ·l:

Δφ₁ = θ₁·l = – 11,7·10^–3 · 0,5 = – 5,85·10^–3 (рад);

         Δφ₂=  θ₂·dz = ·dz =  +  –  =