Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 7

Вернемся к схеме на Рис. 9.2. Здесь эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей:

.

Ток, втекающий в узел, – это, несомненно, . Согласно правилу параллельного разброса:

.

.

Теперь находим составляющие токов, создаваемых источником ЭДС. Для этого удаляем из схемы источник тока. Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико, на его месте (между точками a и b) оставляем разрыв (Рис. 9.4).

Рис. 9.4

Цепь на Рис. 9.4 – это одноконтурная цепь. Здесь

,

.

С другой стороны, ток  можно найти по закону Ома:

.

Наконец, находим реальные токи (см. Рис. 9.1):

.

Метод наложения не может использоваться для расчета мощности, поскольку мощность пропорциональна не току, а квадрату тока.

Заметим также, что метод наложения применим только к линейным цепям.

10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗВЕЗДЫ В ТРЕУГОЛЬНИК И ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗВЕЗДУ

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (Рис. 10.1а), называют звездой, а соединение трех сопротивлений, при котором они образуют стороны треугольника (Рис. 10.1б), называют треугольником. В узлах 1, 2, 3 звезда и треугольник соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Рис. 10.1

Токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, имеют обозначения . Потенциалы узлов 1, 2 и 3 – .

Часто при расчетах электрических цепей необходимо преобразовывать треугольник в звезду или звезду в треугольник. Если преобразование выполнить таким образом, что потенциалы узлов 1, 2, 3 и токи, подтекающие к этим узлам, останутся неизменными, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Формулы преобразований получим из законов Ома и Кирхгофа.

Для звезды по первому закону Кирхгофа:

                                                                    .             (10.1)

Здесь и далее знак над током означает, что формула относится к звезде.

Но, с другой стороны, из закона Ома получаем соотношения:

                                                                    .             (10.2)

Подставим (10.2) в (10.1) и найдем :

                                .                                                                                (10.3)

Так как в треугольнике нет узла 0, исключим потенциал этого узла из соотношений (10.2). Для этого подставляем (10.3) в (10.2) и, в частности, для тока  получим выражение:

                                  .                                                                                (10.4)

Для треугольника по первому закону Кирхгофа:

.                                                                               (10.5)

Здесь и далее знак над током означает, что формула относится к треугольнику.

Так как токи, подтекающие извне к звезде и треугольнику, равны, приравняем  и  из (10.4) и (10.5). Проделаем эту операцию и для других токов и после преобразований получим:

,

                                                                   ,           (10.6)

                                                                   ,           (10.7)

                                                                  .           (10.8)

Из выражений (10.6-10.8) получаются формулы сопротивлений при преобразовании звезды в треугольник:

                                                               ,        (10.9)

                                                               ,      (10.10)

                                                              .     (10.11)

Из полученных формул выводятся обратные, для преобразования треугольника в звезду:

                                                                 ,        (10.12)

                                                                 ,        (10.13)

                                                                 .        (10.14)

Чтобы запомнить и правильно использовать формулы (10.9-10.14), можно порекомендовать следующий прием.

При преобразовании звезды в треугольник установить два пальца в те узлы, к которым будет подсоединяться ветвь треугольника. Искомое сопротивление ветви треугольника будет равно сумме сопротивлений лучей звезды, подходящих к пальцам, плюс произведение этих сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося луча.

При преобразовании треугольника в звезду установить один палец в тот узел, к которому будет подсоединяться луч звезды. Искомое сопротивление луча звезды – это произведение сопротивлений ветвей, подходящих к пальцу, деленное на сумму сопротивлений всех трех ветвей треугольника.

Если сопротивления всех ветвей звезды или треугольника равны, такие звезда и треугольник называются симметричными. Сопротивления ветвей эквивалентных симметричных звезды и треугольника связаны соотношением, которое можно вывести из (10.9-10.14):

.

Пример 10.1:

Решить задачу (Рис. 10.2).

Рис. 10.2

Преобразуем звезду R₄, R₅, R₆ в эквивалентный треугольник R_ab, R_bc, R_ac (Рис. 10.3).

Рис. 10.3

Рассчитываем параметры треугольника:

.

Сворачиваем сопротивления параллельных ветвей:

.

Сворачиваем все сопротивления в одно эквивалентное:

.

Находим ток  по закону Ома:

.

11. СВЕРТКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕТВЕЙ В ОДНУ ЭКВИВАЛЕНТНУЮ

Пусть несколько параллельных ветвей (с источниками и без) располагаются между ветвями a и b (Рис. 11.1 а). При этом извне в узел a втекает ток I, а из узла b этот же ток вытекает. Заменим эти параллельные ветви одной эквивалентной, содержащей ЭДС E_экв и сопротивление R_экв (Рис. 11.1 б).

Рис. 11.1

Для этого запишем уравнения по первому закону Кирхгофа и закону Ома для параллельных ветвей:

                                                                  ,       (11.1)

                                                                  ,            (11.2)

                                                                  ,              (11.3)