Сущность статистического наблюдения. Статистическая сводка. Абсолютные и относительные величины: сущность, виды, порядок расчета. Структурные средние величины. Асимметрия и эксцесс, страница 3

1. Мода () – под ней понимается наиболее часто встречающийся вариант. Мод может быть несколько. Расчет моды зависит от того, в каком ряду она рассчитывается (в дискретном или в интервалом).

а)  В дискретном ряду (ищем , находим по нему интервал и строим полигон).

б)  В интервальном ряду

ü  Находим

ü  Находим по  модальный интервал

ü  Находим  по формуле:  , где - начало модального интервала

      - величина модального интервала

                      - частота модального интервала

                      - частота до модального интервала

                      - частота после модального интервала

2.  Медиана ()- вариант, делящий ранжированный ряд по полам. Для того, что бы найти    медиану, находят ее порядковый номер:

- для четного количества.

- для нечетного количества.

Затем находят ряд накопленных частот. Расчет медианы зависит от того, в каком ряду она рассчитывается.

а)  Для дискретного ряда: - находим

- находим накопленную частоту

                                         - по  и  находим .

б)  Для интервального ряда.  В интервальном ряду медиану рассчитывают по формуле:

, где

            - начало медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- частота накопленная до медианного интервала;

В интервальном ряду   можно рассчитывать графически, построив кумуляту по накопленной частоте.

7. Асимметрия и эксцесс.

Расчет данных показателей используется для характеристики кривых распределения, их вытянутость вдоль оси абсцисс- показатели асимметрии, или оси ординат- показатели эксцессов.

Асимметрия – для оценки степени асимметричности применяетсямоментный и структурный коэффициенты асимметрии. В симметричных рядах средние величины равняются моде и равняются медиане. Однако в большинстве своем ряды распределения не симметричны и определяются при помощи показателей асимметрии:

  

Моментный , где - центральный момент 3 порядка.

.

На направление асимметрии будет указывать знак коэффициента:

- левосторонняя

- правосторонняя.

Под эксцессом понимают островершиность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением при той же силе вариации. Определяется только для симметричных или умеренно асимметричных вариаций.

- плосковершинные

- островершинные.

Для определения остро или низко вершинности кривой распределения используются показатели эксцесса, которые рассчитываются по формуле:

  

Квартили – значения вариантов, делящих совокупность на 4 равные части.

Децили – значения  вариантов, делящих совокупность на 10 равных частей.

При этом различают верхние и нижние квартили и децили. Формулы для расчета квартилей и децилий похожи на формулу для расчета медианы:

Квартили:

Нижний:          

Верхний:          

Децили:

Нижний:          

Верхний:          


8. Теоретические кривые распределения. Кривая нормального распределения и ее построение по эмпирическим данным.

Графическое представление рядов распределения дает представление о форме распределения (полигон, гистограмма). Однако судить о форме распределения по представленным рядам рискованно, т.к. в них может содержаться недостаточное количество единиц для обследования. При увеличении объема изучаемой совокупности полигон или гистограмма сглаживаются и распределение представляет плавную линию – кривую распределения.

Фактическая кривая отличается от теоретической (плавной кривой) и в статистике выдвигаются и проверяются гипотезы о случайности этих расхождений. Среди кривых распределения особое место занимает кривая нормального распределения, которая имеет колоколообразную форму.  Кривая нормального распределения имеет 2 точки перегиба, которые находятся на  расстоянии средне квадратического отклонения.

В промежуток:

от  до  попадают 68,3 %

от  до  попадают 95,4 %

от  до  попадают 99,7 %.

Кривая нормального распределения описывается следующим уравнением:

выражение  - нормированное отклонение.

.

Кривая нормального распределения – ордината, является теоретической частотой Фактическая частота (эмпирическая) – .

, где - количество элементов в изучаемой совокупности, - расстояние между соседними группами.

Кроме нормального распределения, на практике встречается и распределение Пуассона. Оно присуще дискретным рядам и возникает в тех случаях, когда сами варианты x являются своего рода  частотами в ситуациях, которые встречаются крайне редко. В распределениях Пуассона с увеличением значения x вероятность их наступления падает.

Распределения Пуассона выражается следующей зависимостью для расчета теоретической частоты.

.

Распределение Пуассона характерно для редко встречающихся явлений, иногда его называют законом малых чисел.

9. Критерий согласия Пирсона «хи-квадрат». Критерии согласия Романовского, Ястремского, Колмогорова.

Вычисление теоретических частот происходит из предположения, что эмпирическое распределение близко к теоретическому, а расхождения случайны. Случайность отклонений проверяется при помощи критериев согласия:

1.  Критерий  - установил Пирсон для оценки случайности расхождений теоретической и эмпирической частоты. Он разработал специальные таблицы для расчета  . - в этом случае отклонения случайны и эмпирическое распределение будет являться теоретическим. .

2.  Критерий Романовского – этот критерий не требует специальных таблиц для определения существенности расхождений между   и . , где - число степеней свободы.

 - для нормального распределения

- для распределения Пуассона

- количество групп в изучаемой совокупности.

Если , то расхождение является несущественным, а распределения можно считать нормальным.

3.  Критерий Ястремского также базируется на основе , но не зависит от числа степеней свободы, а зависит только от количества групп.

, где  зависит от количества групп.

Гипотеза о нормальном распределении будет считаться не опровергнутой если .

4.  Критерий Колмогорова основан на сопоставлении накопленных частот.