Оптика фотонных кристаллов: Методические указания к практическим занятиям, страница 5

                                                ,

которое можно также записать в виде . Физически это означает, что пространственные гармони­ки и резонансно связаны.

б) Предполагая, что свет падает теперь под углом , пока­жите, что условие Брэгга  согласуется с выраже­нием (5.8) лекций.

в) Пусть  – центр запрещенной зоны; покажите, что

                                                    ,

где .

г) Пусть – мнимая часть волнового числа в запрещен­ной зоне, так что

                                                     .

Покажите, что связь между  и  дается выражением

                                         

Заметьте, что это выражение описывает эллипсоид с центром  и .

д) С помощью выражений, приведенных в пункте г), покажите, что ширина запрещенной зоны дается выражением

                                                    ,

а максимальное значение  равно

                                                   .

Задача 1.2.2. Полуволновая среда

Среда, в которой пространственный период изменения диэлектрической проницаемости (показа­теля преломления) равен половине полного периода, называ­ется полуволновой средой. Иными словами, профиль показа­теля преломления такой среды дается выражением

                                            

причем

                                                    .

а) Пусть  определена следующим образом:

                                            

причем . Покажите, что

                                   

б) Покажите, что Фурье-разложение функции  имеет вид

                                   .

в) Покажите, что ширина первой запрещенной зоны (l = 1) для этой среды дается выражением

                                                     .

Задача 1.2.3. Матричные элементы

Получите выражения (6.12) для матричных элементов А, В, С, D.

Задача 1.2.4

Получите выражения (6.14).

Задача 1.2.5. Блоховские волновые числа

Выведите уравнение на собственные значения (6.21) лекций.

Задача 1.2.6.

Найдите решения (6.22)-(6.24) уравнения на собственные значения (6.21) лекций.

Задача 1.2.7.

Получите явные выражения для cos К А, используя матричные элементы (6.12) и (6.14) для ТЕ- и ТМ-волн и дисперсионное уравнение (6.24) лекций.

Задача 1.2.8.

Покажите, что в случае нормального падения (k_v = 0) выражения, полученные в п. в, сводятся к (6.26).

Задача 1.2.9.

Покажите, что для волны, падающей на поверхность кристалла под углом Брюстера [], блоховское волновое число всегда вещественное. [Указание: В = С = 0, AD = 1.]

Задача 1.2.10. Четвертьволновый массив

Пусть имеется периодическая слоистая структура, состоящая из двух чередующихся диэлектрических сред, профиль показателя преломления которой определяется выражением (6.1) лекций.

а) Используя выражения, полученные в задаче 1.2.7, покажите, что максимум величины  достигается при

                                               ,…

и

                                               ,…

Слоистая структура, удовлетворяющая этим условиям, называется четвертьволновым массивом.

б) Получите выражения для максимальных значений cos KL как для ТЕ-, так и для ТМ-волн.

в) Покажите, что при нормальном падении эти выражения сводятся к (6.29).

г) Покажите, что амплитуда затухающей блоховской волны при нормальном падении на четвертьволновый массив уменьшается в п₂/п_] раз на каждом периоде (положите ).

Задача 1.2.11

Коэффициент пропускания брэгговского отражателя определяется выражением

                                                    .

а) Покажите, что

                                                .

б) Коэффициент пропускания энергии световой волны Т дается выражением

                                                          .

Покажите, что

                                               .

Заметьте, что и .

в) Выведите формулу (6.42) лекций, используя соотношение R = 1 – Т.

Задача 1.2.12

Формулы для коэффициента отражения (6.42) и для коэффициента пропускания, приведенные в задаче 1.2.11, справедливы, только если свет падает из среды с показателем преломления . Покажите, что если свет падает из среды с показателем преломления п_а (для воздуха п_а = 1), то коэффициент отражения записывается в виде

                                                       ,

где  определяется выражением (6.41) лекций, а  – коэффициент отражения света, падающего из среды с показателем преломления п_а на среду с показателем преломления n₁Для случая нормального падения

                                                      .

[Указание: используйте формулу Эйри, предполагая, что бесконечно тонкий слой с показателем преломления  расположен между средой с показателем преломления п_а и брэгговским отражателем. Формулы Эйри для коэффициентов отражения и пропускания записываются в виде

                                   , ,

где

                                                   .

Задача 1.2.13

Плоская волна падает из вакуума на плоскую поверхность одноосного кристалла. Угол падения . Оптическая ось кристалла параллельна его поверхности и составляет угол  с плоскостью падения. Найти направление обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле (см. лекцию).

Задача 1.2.14

Плоская волна падает из вакуума на плоскую поверхность одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла нормальна к его поверхности. Найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если угол падения .

Задача 1.2.15

Электромагнитная волна падает нормально на плоскопараллельную пластину, толщина которой – , диэлектрическая проницаемость – . Вне пластины вакуум.

Определить амплитуды электромагнитных волн, отраженной от пластины и прошедшей через нее. Найти условия, при которых отражение волн от пластины минимально.

Задача 1.2.16

Плоская волна с амплитудой электрической напряженности , распространяясь в воздухе с коэффициентом преломления , падает под прямым углом на плоскую границу полупроводника с коэффициентом преломления . Используя непрерывность поля на границе, рассчитайте и изобразите векторы напряженности электрического и магнитного полей для падающей, отраженной и прошедшей волн.

Задача 1.2.17