Радиоавтоматика: основы теории и принципы построения автоматических систем, страница 7

Обратимся теперь к математическому описанию системы АПЧ. Полагаем, что все функциональные элементы, за исключением ФНЧ, являются безынерционными. Это предположение упростит математическое описание системы АПЧ, поскольку безынерционный элемент полностью описывается статической характеристикой – алгебраическим уравнением, связывающим входную и выходную переменные. Обоснованность такого допущения определяется тем, что полоса пропускания разомкнутой системы определяется, главным образом, фильтром нижних частот.

С учетом сказанного связь между частотами входного сигнала, гетеродина и сигнала промежуточной частоты определяется выражением

fп=fcfг                                                      (3.1)

(переменная t в (3.1) опущена, так как эти величины относятся к одному моменту времени). Отклонение промежуточной частоты от номинального значения (частотная расстройка) равна

Df=fпf0.                                                                          (3.2)

Полагаем, что частотный дискриминатор точно настроен на частоту f0, т.е. нуль дискриминационной характеристики соответствует этому значению частоты fп. Учет дрейфа нуля дискриминационной характеристики (из-за дестабилизирующих факторов) сводится к добавлению в правой части (3.2) слагаемого Dfп (в общем случае случайная величина).

Напряжение на выходе дискриминатора представим в виде

Uд(t)=U(Df)+n(t, Df),                                        (3.3)

где составляющая U(Df) является полезной (обусловлена действием сигнала), а составляющая n(t,Df) описывает помеху, действующую на выходе дискриминатора (характеристики ее в общем случае зависят от частотной расстройки).

Управляющее напряжение формируется фильтром нижних частот, описываемым дифференциальным уравнением:

Uу(t)=Kф(p)Uд(t),                                (3.4)

где Кф(р) – передаточная функция ФНЧ. Вид передаточной функции Кф(р) определяет важнейшие характеристики системы АПЧ: запас устойчивости, быстродействие, полосу захвата, точность.

В случае применения системы АПЧ для стабилизации промежуточной частоты применяется, как правило, простейший RC-фильтр нижних частот (инерционное звено), постоянная времени которого выбирается таким образом, чтобы ФНЧ не пропускал составляющих напряжения Uд(t), обусловленных модуляцией сигнала (АМ, ЧМ) и в то же время передавал без искажений составляющую, обусловленную уходом частоты генераторов (передатчика и гетеродина) вследствие нестабильности, а также из-за эффекта Доплера.

В следящих фильтрах, используемых в доплеровских измерителях скорости, применяются более сложные ФНЧ, содержащие несколько интегрирующих звеньев, а также другие типовые звенья. Это необходимо для того, чтобы уменьшить динамическую ошибку, обусловленную инерционностью системы.

Регулировочная характеристика fг(Uy) подстраиваемого генератора в общем случае нелинейная (рис. 3.3). Однако при небольших частотных расстройках она достаточно точно аппроксимируется линейной зависимостью:

,                                                          (3.5)

где – крутизна регулировочной характеристики (коэффициент передачи подстраиваемого генератора, имеющий размерность Гц/В). Максимальное значение Uymax управляющего напряжения определяет полосу удержания 2Dfy системы – диапазон частотных расстроек, которые могут быть скомпенсированы системой при условии, что она работает в режиме слежения (частотная ошибка близка к нулю). Полоса удержания системы АПЧ всегда больше, чем полоса захвата, под которой понимается диапазон частотных расстроек, при которых возможно установление режима слежения (строгое определение полосы захвата возможно лишь с использованием нелинейной теории систем АПЧ и будет дано позже).

Структурная схема системы АПЧ, построенная на основе уравнений (3.1) – (3.5), имеет вид:

Рис. 3.4

Первые два уравнения реализуются на модели элементами сравнения, уравнение (3.3) моделируется безынерционным нелинейным звеном с характеристикой U(Df) и сумматором. Уравнение (3.4) соответствует линейному звену с передаточной функцией Кф(р). Последнее уравнение моделируется совокупностью линейного безынерционного звена с коэффициентом передачи kг и сумматора. Учет нестабильности частоты Dfг подстраиваемого генератора и дрейфа нуля дискриминационной характеристики Dfп производится добавлением их к величинам fг0 и f0 соответственно.

Можно упростить структурную схему, если под входной и выходной переменными понимать не сами частоты fc и fг, а их отклонения от номинальных значений:

Dfc=fcfc0  и  Dfг=fгfг0

Это позволяет объединить два элемента сравнения, так как

Dfc – Dfг=(fcfc0) – (fгfг0)=(fcfг) – (fc0fг0)=fпf0=Df.          (3.6)

Дальнейшего упрощения структурной схемы можно достичь, если полагать, что частотная расстройка мала (Df®0). Такое допущение справедливо для работы системы в режиме слежения. Тогда дискриминационная характеристика может быть аппроксимирована линейной зависимостью

U(Df)=kдDf,                                                (3.7)

где  – крутизна характеристики (коэффициент передачи частотного дискриминатора, имеющий размерность В/Гц).

С учетом (3.6) и (3.7) структурная схема системы АПЧ принимает вид (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Передаточная функция К(р)=kгКф(р) описывает ФНЧ и подстраиваемый генератор. Данная схема соответствует линейной системе, описываемой линейным дифференциальным уравнением:

Dfг=kгКф(р)[kд(Dfc – Dfг)+n(t)]                             (3.8)

(переменная t у величин Dfc и Dfг опущена в целях простоты записи).

Структурная схема (рис. 3.5) и уравнение (3.8) могут быть использованы для решения таких задач, как определение устойчивости, быстродействия, точности слежения в установившемся режиме. Однако для определения такой важной характеристики, как полоса захвата, линейная модель системы непригодна, так как не учитывает нелинейности характеристики дискриминатора.

Контрольные вопросы

1. Укажите области применения систем АПЧ.