Радиоавтоматика: основы теории и принципы построения автоматических систем, страница 16

,                                          (7.2)

где T – постоянная времени, обусловленная наличием емкости, индуктивности, момента инерции и т. д.; k – коэффициент передачи.

Передаточная функция инерционного звена

K(p) =k/(1+Tp).                                                 (7.3)

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена определяются выражениями:

,                                             (7.4)

.                                             (7.5)

Построенные по этим формулам АЧХ и ФЧХ инерционного звена для двух значений постоянной времени (T2 > T1) представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1

Чтобы построить ЛАХ звена, необходимо определить логарифмическую функцию АЧХ в децибелах из (7.4):

,

или             

                    .                                (7.6)

Точное построение ЛАХ заключается в последовательном определении значений L(w) при различных частотах w. Построение ЛАХ обычно упрощают, заменяя точную L(w) ее асимптотами. Первая асимптота характеризует ЛАХ при малых частотах, когда величиной w2T2 можно пренебречь, т. е. принимают

.                                            (7.7)

Эта асимптота не зависит от частоты. Вторая асимптота характеризует ЛАХ при больших частотах, когда w2T2>>1, т. е. принимают

.                                  (7.8)

Если принять приращение частоты на одну декаду (w2 = 10w1), то АЧХ в децибелах изменится на величину

.

Следовательно, для второй асимптоты известен наклон, характеризующий убывание амплитуды на 20 дБ при возрастание частоты на 1 декаду. Точка сопряжения обеих асимптот определяется равенством L¢(w) и L²(w), т. е.

,

откуда wс=1/T.

Величина wс определяется постоянной времени инерционного звена и называется сопрягающей частотой.

Асимптотическая ЛАХ, построенная по формулам (7.7), (7.8), представлена на рис. 7.2. Как видно из сравнения (7.6) с (7.7), (7.8), максимальное отклонение асимптотической ЛАХ от точной характеристики Lт(w) равно 3 дБ при частоте сопряжения wc (эта частота определяет полосу пропускания по уровню 0,7) и незначительно при других частотах.

Рис. 7.2

Логарифмическая фазо-частотная характеристика инерционного звена

j(w)= –arctgwT= –arctg(w/wc).

Для сопрягающей частоты фаза

j(wc)= –arctg(wc/wc)= –arctg1= – p/4.

Переходная характеристика инерционного звена

,                                                  (7.9)

а импульсная

.                               (7.10)

Построенные по формулам (7.9), (7.10) характеристики при двух значениях постоянной времени (T2>T1) представлены на рис. 7.3. Из рисунка видно, что время переходного процесса, определяемое как время установления значения

,

тем больше, чем больше постоянная времени (tп@3T=3/wc).

Рис. 7.3

Примерами инерционного звена являются: RC (или RL) фильтры нижних частот; дискриминатор (например, частотный); генератор постоянного (или переменного) тока; электродвигатель и т. д., если уравнения их динамики можно представить в виде (7.2).

7. 3. Интегрирующее звено

Уравнение динамики интегрирующего звена имеет вид

или                                                             ,                                (7.11)

где kи – коэффициент передачи, имеющий размерность с –1.

          Передаточная функция интегрирующего звена

,                                        (7.12)

а частотные характеристики определяются выражениями

,                                        (7.13)

j.                                   (7.14)

АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена, построенные в соответствии с формулами (7.13) и (7.14), представлены на рис. 7.4.

 

Рис. 7.4

ЛАХ интегрирующего звена на основании (7.13) определяется как

L(w)=20lgK(w)=20lgkи – 20lgw.                    (7.15)

Это выражение подобно (7.8), поэтому ЛАХ интегрирующего звена является прямой линией, проходящей с наклоном –20дБ/дек через точку на оси частот w=kи.

 


Рис. 7.5

Логарифмическая фазо-частотная характеристика отличается от представленной на рис. 7.4 характеристики j(w) лишь масштабом по оси частот (логарифмический вместо линейного).

Переходная характеристика интегрирующего звена представляет собой линейную функцию времени, а импульсная – ступенчатую функцию     (рис. 7.5).

Примерами интегрирующего звена являются: интегратор на основе операционного усилителя, редуктор исполнительного устройства системы вращения антенны и др., если уравнения их динамики имеют вид (7.11).

ЛЕКЦИЯ 7. ТЕМА 7: «ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ

 РАДИОАВТОМАТИКИ»

(продолжение)

План лекции

Форсирующее звено.

Колебательное звено.

7. 4. Форсирующее звено

Динамические свойства форсирующего звена описываются уравнением

,                                        (7.16)

где k – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени.

Передаточная функция форсирующего звена

К(р)=k(1+Тр).                                 (7.17)

АЧХ и ФЧХ звена на основании (7.17) определяются выражениями

,                                 (7.18)

j(w)=arctgwT.                                 (7.19)

Частотные характеристики форсирующего звена, построенные с использованием (7.18) и (7.19) для двух значений постоянной времени (Т2>Т1), представлены на рис. 7.6.

ЛАХ форсирующего звена получается из (7.18):

L(w)=20lgK(w)=20lg|k|,

или   

                                         L(w)=20lgk+20lg(1+w2T2)1/2.                           (7.20)

Рис. 7.6

Асимптотическая ЛАХ может быть представлена двумя прямыми:

L¢(w)=20lgk при w£ 1/T,

L²(w)=20lgk+20lgwT при w > 1/Т.                          (7.21)

Первая представляет собой отрезок горизонтальной прямой с ординатой 20lgk, а вторая – прямую, проходящую с наклоном 20 дБ/дек. Частота сопряжения wс=1/Т этих прямых соответствует значениям АЧХ К(wс)=k и ФЧХ j(wс)=p/4. Максимальная погрешность аппроксимации ЛАХ составляет 3 дБ и соответствует частоте wс.