Частотные характеристики и операторные функции электрических цепей, страница 2

Используя, определение K_U(jw) получим его выражение K_u(jw)====.

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (jw) и построим их графики (рис.5.11.), подсчитав значения при w=0, w=¥.

Вспомним, что z== где:    тогда,

          Ku(0)=1;         Ku(¥)=0.

Отсюда следует: φ_к(¥)= π/2, φ_к(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku(¥)=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера:

 , w_грRC=1 Þ . Построить годограф частотно-передаточной функции (годограф иногда называют АФЧХ).

При  .

При  

Учитывая, что реальная часть всегда положительна и уменьшается от 1 до 0, а мнимая часть всегда отрицательна, можно построить график годографа (рис. 5.12.).

Пример 3. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.5.13), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Z_вх(jw),  Z_вх(w), j_z(w).  2.K(jw), K(w), j_k(w).

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Z_вх(jw)=Ů_1m/.Входное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований. Этот методсостоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.5.14.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(jw)=Ů_2m/Ů_1m , а Ů_2m=Z₄İ₂ – находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти İ₂. Находим İ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток İ₁, İ₂ и составим уравнения по методу контурных токов.

Z₁₁İ₁+Z₁₂İ₂=E₁₁

Z₂₁İ₁+Z₂₂İ₂=E₂₂ ,

где: Z₁₁ – собственное сопротивление первого контура, Z₁₁=Z₁+Z₂;

Z₁₂ и Z₂₁ сопротивление смежных контуров, Z₁₂= Z₂₁= - Z₂ ;

Z₂₂-собственное сопротивление II контура.           Z₂₂=Z₂+Z₃+Z₄ ;

Ė₁₁-алгебраическая сумма источников ЭДС  I-ого контура, Ė₁₁=U_1m;

E₂₂- алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, Ė₂₂=0.

 Найдем İ ₂- ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m  метод узловых потенциалов. Для этого:

·  преобразуем исходную схему к виду, показанному на рис.5.15, заменив источник эдс на источник тока;

·  потенциал узла 0 примем равным нулю, j₀=0;

·  тогда Ů_2m=j₂ - j₀= j_2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно j₂, по методу Крамера:

Y₁₁j₁+ Y₁₂j₂=I₁₁

Y₂₁j₁+ Y₂₂j₂=I₂₂,

где: Y_{11 –} собственная проводимость первого узла, Y₁₁=(1/Z₁)+(1/Z₂)+(1/Z₃);

Y₁₂ и Y₁₂ – межузловая проводимость Y₁₂= Y₂₁= - 1/Z₃; =-1/Z₃;

Y₂₂ - собственная проводимость первого узла Y₂₂=(1/Z₃) +(1/Z₄);

j_1, j₂ – потенциалы первого и второго узлов;

I_11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

K_u(jw)=Ů_2m/Ů_1m =Z₂Z₄/(Z₂Z₄+Z₂Z₃+Z₁Z₂+Z₁Z₃+Z₁Z₄).

Для построения ФЧХ необходимо пользоваться следующими формулами.

, где a - реальная часть, а b -  мнимая.

Φ_Z =

  I   a > 0, b>0;   φ = arctg

            II  a<0, b>0;    φ = - arctg

  III  a<0, b<0;    φ = + arctg

IV  a>0, b<0;     φ = - arctg

5.5. Резонансные цепи. Колебательные контуры

Явление резкого возрастания амплитуды отклика при приближение частоты внешнего воздействия к определенному значению частоты называется резонансом. Такой резонанс имеет место в механике и называется амплитудным резонансом. Частота, на которой выполняется условие резонанса, называется резонансной частотой

В электротехнике, величины характеризующие режим работы цепи на разных элементах имеют амплитудный резонанс на разных, хотя и близких частотах. Поэтому в теории цепей под резонансом понимаю фазовый резонанс. Под фазовом резонансом понимают условие, при котором цепь, содержащая реактивные (L и C) элементы, имеет входное сопротивление резистивное, т.е. при резонансе ток и напряжение находятся в одной фазе, как и на любом резистивном элементе, а сдвиг по фазе равен нулю.

Электрические цепи, в которых имеет место явления резонанса, называются резонансными. Поскольку переходные характеристики резонансных цепей имеют колебательный характер, то резонансные цепи называют колебательными контурами.

Колебательные контура используются для решения задач частотной избирательности. Под частотной избирательностью понимают способность цепи выделять сигналы узкого диапазона частот. К простейшим колебательным контурам относят последовательный и параллельный колебательный контур, также систему связанных контуров.

5.5.1. Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из последовательного соединения индуктивности L и емкости  C (рис.5.17).

Для анализа процессов протекающих в контуре воспользуемся эквивалентной схемой замещения контура, в которой учтем резистивные сопротивления потерь реальных  реактивных элементов. Схемы замещения реактивных элементов с учетом их резистивных сопротивлений приведены на рис.5.18. Здесь, R_L – резистивное сопротивление провода катушки индуктивности, R_ут – сопротивление утечки диэлектрика конденсатора, Rc – сопротивление утечки, пересчитанное в последовательную ветвь. Схема замещения последовательного контура приведена на рис. 5.19. В ней  - резистивное сопротивление контура, учитывает резистивные сопротивления реактивных элементов.

Определим частотную характеристику входного сопротивления последовательного колебательного контура.

;

где R и  – резистивная и реактивная составляющая сопротивления последовательного колебательного контура;

- обобщенная расстройка колебательного контура.

Характер входного сопротивления Z_вх(jω) зависит от частоты.

1)  На низких частотах (НЧ) ; X < 0. Это означает, что сопротивление носит емкостной характер, его можно представлять эквивалентной схемой  приведенной на рис.5.20.

2) На высоких частотах (ВЧ) , Х > 0, сопротивление последовательного контура носит индуктивный характер (рис.5.20б).