Частотные характеристики и операторные функции электрических цепей

ГЛАВА 5

Частотные характеристики и операторные функции

электрических цепей

Большинство электрических цепей служат средством связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку (рис.5.1), где x(t)- сигнал на входе цепи, он называется входным сигналом или воздействием; y(t)- выходной сигнал или отклик.

y(t)=F(x(t),a,b,c) - в общем случае, связь между откликом и воздействием имеет вид дифференциального уравнения, если цепь линейная, то уравнение линейное, где a,b,c- параметры элементов, входящих в цепь.

Если входной сигнал гармонический, то его представляют комплексной амплитудой.

→  

Если цепь линейная, то откликом такой цепи является гармонический сигнал с комплексной амплитудой .

   →  

Причем связь между комплексной амплитуды отклика и воздействия имеет вид линейного алгебраического уравнения:

 , 

где H (a, b, c) – параметр электрической цепи (это комплексное число).

Параметр цепи есть отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.

5.1. Параметры двухполюсника

Двухполюсником является цепь с двумя выводами рис.5.2. Его режим работы характеризуется двумя величинами

1. Если воздействием считать амплитуду тока, то откликом будет являться напряжение на нем.

По закону Ома: , где Z – сопротивление двухполюсника. (Z=R+jX – комплексное число, где R и X резистивная и реактивная составляющие сопротивления двухполюсника).

Обобщенная схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5.3.

2.Если воздействием считаем амплитуду напряжения, тогда откликом будет амплитуда тока, которая связан с напряжением:

     .

, где Y- второй параметр двухполюсника, он называется комплексной проводимостью двухполюсника. Y=G+jB, где G и B резистивная и реактивная составляющие проводимости двухполюсника.   

Вторая схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5.4. Эти схемы замещения, при определенном выборе параметров, эквивалентны.

5.2. Параметры четырехполюсника

Четырехполюсник – это цепь с четырьмя выводами (рис.5.5).

Параметры четырехполюсника можно разбить на четыре группы:

1.  Входные параметры связывают  и :

По отношению к источнику сигнала четырехполюсник является двухполюсником, а поэтому его входные параметры аналогичны параметрам двухполюсника:

  ,     ,

где - входное сопротивление четырехполюсника; - входная проводимость четырехполюсника.

2. Передаточные параметры характеризуют передачу сигнала, со входа на выход или, как говорят, передачу в прямом направлении. Передаточных параметров четыре

;      ;       ;       ,

где - коэффициент передачи по напряжению;

- коэффициент передачи по току;

- сопротивление прямой передачи или коэффициент преобразования ток – напряжение;

- проводимость прямой передачи или коэффициент преобразования напряжение - ток.

3. Выходные параметры:

а) , где - комплексное выходное сопротивление.

- комплексная амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода. (ХХ – холостой ход), это режим когда выполняются условия (, =∞)

- комплексная амплитуда выходного тока в режиме короткого замыкания. (КЗ – короткое замыкание), это режим когда ().

б)  комплексная выходная проводимость.

4. Параметры обратной передачи сигнала. Они характеризуют передачу сигнала с выхода на вход. Таких параметра четыре и они аналогичны параметрам второй группы: (,,,).

5.3. Частотные характеристики

Поскольку сопротивления элементов цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ) или частотными функциями цепи.

Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику ЧХ. Название ЧХ дают в соответствии с названием  параметра. Например: ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения.

ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и тригонометрической (последняя, применяется редко).

.

H(ω)=Y_m/X_m - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) или ее называют модуль комплексной функции – mod[H(jω)] =.

АЧХ – есть зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз).

- фазо-частотная характеристика (ФЧХ) или ее называют аргументом комплексной функции – arg[H(jω)] = .

ФЧХ – есть зависимость от частоты сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.

,,- реальная и мнимая составляющие ЧХ электрической цепи.

Для наглядности ЧХ цепей представляют в виде графиков. Графики строят двумя способами.

1.  ЧХ можно представлять в виде двух графиков –АЧХ и ФЧХ.

При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям: абсолютным или линейным и логарифмическим. На рис.5.6а приведен график в абсолютном линейном масштабе, на рис.5.6б в полулогарифмическом масштабе, а на рис.5.6в в логарифмическом масштабе.

2.  ЧХ можно представить на одном графике. График комплексной функции, построенный в одной системе координат, называют годографом. Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности.

Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи частотной характеристики Н(jω) = Re[Н(jω)] + jJm[Н(jω)]. Далее для определенных частот ω_i рассчитывают значения Re[Н(jω)] = Н₁(ω_i) и Jm[Н(jω)] = Н₂(ω_i), и составляют таблицу данных, а затем, как обычно, наносят эти точки на плоскость и соединив их получают график годографа (рис.5.7).

Таблица данных для построения АФХ                             Таблица 1.1.

Частота f, Гц	Re[Н(jω)] = Н1(ωi)	Jm[Н(jω)] = Н2(ωi)

5.4. Примеры расчёта частотных характеристик цепей

Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.5.8) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Z_вх(jw), Z_вх(w), j_z(w). 2. K(jw), K(w), j_k(w).

Решение. 1) По определению Z_вх(jw)=Ů_1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Z_вх(jw)=Ů_1m/Ĭ_1m= Ĭ_1m(Z₁+Z₂)/ Ĭ_1m =(R₁+R₂)+j(X₁+X₂)=R+jX;

Z_вх(w)=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²]^1/2;   j_z(w)=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)].

2) Используя определение К(jw) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 2. Для цепи изображенной на рис.5.9 рассчитать:

zвх(jw), z(w), j_z(w).

K_U(jw), K(w), j_K(w).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.5.8.

Используя, определение z_вх(jw) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ для z_вх(jw) и построим их графики (рис.5.10.), подсчитав значения при w=0, w=¥.

;   Zвх(0) = ¥. Zвх(¥) = R.

j_z(w)= -arctg ,   j_z(0)=-p/2, j_z(¥)=0.