Программа дисциплины "Алгебра и геометрия" для студентов специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем"

Министерство образования Российской Федерации

Череповецкий филиал Санкт - Петербургского государственного

технического университета

СОГЛАСОВАНО:                                                                                    УТВЕРЖДЕНО:

Заместитель директора                                                                       Зав. кафедрой _______

по учебной работе                                                                               ____________________

____________________                                                                       ____________________

подпись                         ФИО                                                                                                                       подпись                  ФИЛ

"___"_________200__г.                                                                       "___"_________200__г.

Программа дисциплины

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Составлена кафедрой Общеобразовательных дисциплин

Для студентов, обучающихся по специальности 220400 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем

Череповец

2001 г.

Программа дисциплины Алгебра и геометрия

1.  Цель изучения дисциплины.

Изучить разделы курсы алгебры и геометрии, вошедшие в государственный образовательный стандарт. 

Студенты должны получить знания по основным разделам линейной алгебры и аналитической геометрии и овладеть основными алгебраическими и геометрическими понятиями и изучить их свойства. Студенты должны уметь применять на практике полученные знания в прикладных задачах, возникающих при применении программного обеспечения.

2.  Место дисциплины в учебном плане.

Дисциплина Алгебра и геометрия изучается на первом втором семестрах первого курса. Ее изучение основывается на материале школьных курсов алгебры, геометрии, начал математического анализа.

Материал данной дисциплины используется в курсах "Математический анализ", "Теории вероятностей и математической статистики", "Дискретной математики",  "Вычислительная математика", "Методы оптимизации" и различных специальных курсов по специальности 220400, использующих методы высшей математики.

3. Объем дисциплины по видам учебной работы и формам контроля.

Общая трудоемкость дисциплины  136 часов.

При изучении дисциплины предполагается по одной контрольной работе и по одному расчетно-графическому заданию в каждом семестре.

4.  Содержание дисциплины.

4.1.  Разделы дисциплины в виде занятий.

Примечание: ЛК - лекции, ПЗ - практические занятия, ЛБ - лабораторные занятия, Сам - самостоятельные занятия.

4.2.  Содержание разделов дисциплины.

1.  Системы линейных уравнений, матрицы, определители.

Системы линейных уравнений (основные понятия). Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по правилу Крамера.

Матрицы и действия над ними. Обратная матрица и способы ее вычисления. Решение матричных уравнений и систем n линейных уравнений с n неизвестными с помощью обратной матрицы.

2.  Элементы векторной алгебры.

Геометрические векторы и линейные операции над ними. Скалярное произведение векторов и его основные свойства. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе.

Векторное произведение и его основные свойства. Смешенное произведение векторов и его основные свойства.

3.  Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи аналитической геометрии. Аффинные системы координат. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Полуплоскость.

Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

Плоскость и прямая в пространстве и их различные уравнения. Взаимные расположения прямых и плоскостей в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямыми. Полупространство.

4.  Линейная алгебра.

Понятие векторного пространства. Подпространство. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Размерность и базис векторного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.

Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Теория систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородная и неоднородная системы. Теорема о структуре решений однородной системы. Фундаментальная система решений.

Скалярное произведение в векторных пространствах. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама скалярного произведения. и ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение.

Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора и их связь с корнями характеристического уравнения.

Сопряженные операторы в евклидовых пространствах и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы и их свойства. Ортогональные матрицы.

Билинейные и квадратичные формы. Поверхности второго порядка.

Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон инерции квадратичной формы. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.

Поверхности второго порядка. Приведение кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду