Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции

4.13.  Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Пусть требуется найти экстремумы функции  при условии, что независимые переменные связаны уравнениями

.                                          (4.24)

Такие экстремумы называются условными. Уравнения (4.24) называются уравнениями связи.

Условные экстремумы можно находить методом множителей Лагранжа, который состоит в следующем.

Запишем функцию, которую называют функцией Лагранжа:

,                         (4.25)

Коэффициенты  называются множителями Лагранжа.

Точки, «подозрительные» на условный экстремум, находятся из системы:

                                              (4.26)

Пусть  - одна из таких точек. Чтобы выяснить, есть ли в этой точке условный экстремум, исследуют второй дифференциал  при условиях  .

Рассмотрим частный случай. Пусть требуется найти экстремум функции двух переменных  при условии . Функция Лагранжа имеет вид: . Точки, «подозрительные» на экстремум, находятся из системы

Предположим, что  - решение системы. Тогда точка  - точка, «подозрительная» на условный экстремум.

Чтобы определить, есть ли в этой точке экстремум, нужно вычислить определитель

.                               (4.27)

Если , то  - точка условного максимума; если , то  - точка условного минимума.

Пример. Найти точки условного экстремума функции , если .

Функция Лагранжа имеет вид: .

 .

Первый способ. Проверим, существует ли экстремум функции в точке . Найдем . . . Следовательно, точка  является точкой условного максимума. Условный максимум .

Второй способ. Исследуем второй дифференциал  при условии . Так как , то . Следовательно, функция  имеет условный максимум в точке , равный 1/4.

Третий способ. Из уравнения связи . Следовательно, . Это функция одного переменного , , . В точке  функция  имеет максимум. Следовательно, функция  в точке  имеет условный максимум.

4.14.  Наибольшее и наименьшее значения функции

Определение. Множество  называется связным, если любые его две точки можно соединить ломаной, целиком принадлежащей множеству .

Определение. Областью называется открытое связное множество.

На рисунке 1 даны примеры связного и несвязного множеств.

Пусть функция  определена и непрерывна на некотором ограниченном замкнутом связном множестве  и имеет на этом множестве, за исключением, может быть, отдельных точек, конечные частные производные. Тогда на множестве  найдется точка , в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка  лежит внутри множества , то в ней функция имеет локальный максимум (минимум). Но наибольшего (наименьшего) значения функция может достигать и на границе множества . Поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции, нужно найти точки, «подозрительные» на экстремум, найти значения функции в этих точках, найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе и сравнить полученные значения.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на , если  - замкнутое множество, ограниченное прямыми  .

1)  Найдем точки, «подозрительные» на экстремум. . Следовательно, функция не имеет локальных экстремумов.

2)  Исследуем функцию на границе , . Получаем функцию , . Так как , то на границе  нет точек, «подозрительных» на экстремум. Найдем значения функции на концах отрезка : .

3)  При  получаем функцию , . Так как , то  - точка, «подозрительная» на экстремум. .  уже найдено ранее, .

4)  При  получаем функцию , . . Так как , то точек, «подозрительных» на экстремум нет. Найдем значения функции на границе отрезка.  найдено ранее, .

5)  Сравнивая полученные значения, находим . Наименьшее значение функция достигает в точках (1/2, 0). Наибольшее значение функция достигает в точке (0, 1).

5.  Дифференциальные уравнения

5.1.  Основные понятия и определения

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и ее производные .

ОДУ в неявной форме имеет вид

.                                                     (5.1)

Если из уравнения (5.1) можно выразить , то уравнение можно записать в явном виде:

.                                                    (5.2)

Про уравнение (5.2) говорят, что оно разрешено относительно -й производной.

Определение. Порядком уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Определение. Решением уравнения (5.1) называется такая функция , которая, будучи подставленной, в уравнение, обращает его в тождество.

Определение. Если  - решение дифференциального уравнения, то кривая  называется интегральной кривой этого уравнения.

Пример. . Это уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Его решение есть функция . Это легко проверяется подстановкой функции в уравнение. Интегральной кривой является кривая . При разных значениях  получаем разные интегральные кривые.

5.2.  Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Из формул (5.1) и (5.2) получаем, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

                                                             (5.3)

или

.                                                               (5.4)

Общее решение дифференциального уравнения (5.3) или (5.4) имеет вид

,                                                               (5.5)

где  - произвольная постоянная.

Если в  (5.5) вместо  подставить определенное значение , то получим частное решение уравнения:

.                                                              (5.6)

Не всегда решение можно записать в явном виде (5.5). Часто получаем решение, записанное следующим образом:

,                                                             (5.7)

которое не разрешено относительно . Разрешив его относительно , если это возможно,  получим общее решение (5.5).

Равенство (5.7), задающее общее решение неявно, называется общим интегралом