Высшая математика. Часть 4: Интерактивный компьютерный учебник (Системы линейных уравнений. Алгебраические структуры. Комплексные числа. Линейные преобразования)

Преобразование линейного пространства L называется линейным, если для любых векторов x и y и любого числа α выполнены равенства

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.

Замечание 18.1.

В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.

Линейное преобразование пространства L называют также линейным отображением из L в L или линейным оператором из L в L.

Исходя из равенств легко проверить, что

i x_i = i (x_i), то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

Пример 18.1.

Пусть L -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть (x)=2x. Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).  

Рис.18.1.Преобразование растяжения

Проверим выполнение равенств

(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = (x) + (y),

( i x) = 2( i x) = 2 i x = i (2x) = i (x).

Равенства выполнены, следовательно, преобразование является линейным.

Пример 18.2.

Пусть L -- двумерное векторное пространство, -- поворот вектора по часовой стрелке на угол ψ (рис. 19.2).  

Рис.18.2.Преобразование поворота

Покажем, что это -- линейное преобразование.

Пусть x и y -- два вектора. Тогда x+y -- это диагональ параллелограмма со стронами x, y (рис. 19.3).  

Рис.18.3.Образ суммы векторов

Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол ψ , то его стороны станут векторами (x) и (y), диагональ будет вектором (x)+(y). С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол ψ и поэтому является вектором (x+y). Следовательно, (x+y)=(x)+(y), первое из условий выполнено.

Пусть α -- число. Из рисунка 19.4 очевидно, что ( α x)= α (x).  

Рис.18.4.Образ вектора, умноженного на число   Следовательно, преобразование -- линейное.

Упражнение18.1.1. Пусть L -- двумерное векторное пространство, l -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор x в вектор x' симметричный исходному относительно прямой l (рис. 19.5). Другими словами, x' является зеркальным отражением вектора x в прямой l.  

Рис.18.5.Преобразование отражения

Докажите, что является линейным преобразованием.

Упражнение18.1.2. Пусть L -- двумерное векторное пространство, l -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор x в его проекцию на прямую l (рис. 19.6).  

Рис.18.6.Преобразование проектирования

Докажите, что является линейным преобразованием.

Пример 18.3.

Пусть L -- пространство всех многочленов, -- преобразование, которое переводит вектор из L, то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из L. Пусть x a₁ L, то есть x=a₀+a₁t+a₂t²+...+a_kt^k. Тогда

(x) = x' = a₁ + 2a₂t +...+ ka_kt^{k - 1}.

Например, если x=1-3t+t²+2t³, то (x)=-3+2t+6t². Покажем, что преобразование является линейным.

Пусть x, y a₁ L, α -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим

(x + y) = (x + y)' = x' + y' = (x) + (y).

Аналогично,

( i x) = ( i x)' = i x' = i (x).

Следовательно, -- линейное преобразование.

Пример 18.4.

Пусть L -- n-мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис e₁, e₂,..., e_n. Тогда у любого вектора x есть его координатный столбец α =. Пусть A -- квадратная матрица порядка n. Определим преобразование следующим образом: x'=(x) является вектором, координатный столбец которого равен α =A α (справа стоит произведение матрицы A на столбец α ). Покажем, что преобразование -- линейное.

Пусть x и y имеют координатные столбцы α и β соответственно, а их образы (x) и (y) -- координатные столбцы α , и β . Тогда

i = A i , = A, i + = A i + A = A( i + ).

Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов x+y. Следовательно, (x)+(y)=(x+y).

Пусть x -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора x равен α , координатный столбец образа вектора

A( b x) = b A i = b i , то есть равен числу λ????, умноженному на координатный столбец образа вектора x. Поэтому (x)=(x). Тем самым мы доказали, что преобразование является линейным.

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, (x)=x, и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, (x)=0.

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования образ нуля равен нулю, (0)=0. Действительно, в силу второго из равенств

(0) = (0 ^. x) = 0 ^. (x) = 0.

18.2. Матрица линейного преобразования

В примере было показано, что преобразование n-мерного пространства