Преобразование линейного
пространства L называется линейным, если для любых векторов x
и y и любого числа α выполнены равенства
|
(18.1) |
то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.
Замечание 18.1.
В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.
Линейное преобразование пространства L называют также линейным отображением из L в L или линейным оператором из L в L.
Исходя из равенств легко проверить, что
i xi
=
i
(xi), то есть образ линейной комбинации векторов равен
линейной комбинации их образов.
Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.
Пример 18.1.
Пусть L -- двумерное векторное пространство, то есть множество
векторов плоскости. Пусть (x)=2x.
Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого
же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы
имеют начало в начале координат, то преобразование
можно
представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).
Рис.18.1.Преобразование растяжения
Проверим выполнение равенств
(x + y) = 2(x + y) = 2x
+ 2y =
(x) +
(y),
( i x) = 2( i x) = 2 i
x = i (2x) = i
(x).
Равенства
выполнены, следовательно, преобразование является
линейным.
Пример 18.2.
Пусть L -- двумерное векторное пространство, -- поворот
вектора по часовой стрелке на угол ψ (рис. 19.2).
Рис.18.2.Преобразование поворота
Покажем, что это -- линейное преобразование.
Пусть x и y -- два вектора. Тогда x+y -- это диагональ параллелограмма со стронами x, y (рис. 19.3).
Рис.18.3.Образ суммы векторов
Если параллелограмм повернуть как единое
целое на угол ψ , то его стороны станут векторами (x)
и
(y),
диагональ будет вектором
(x)+
(y).
С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол ψ и поэтому является
вектором
(x+y).
Следовательно,
(x+y)=
(x)+
(y),
первое из условий выполнено.
Пусть α -- число. Из рисунка 19.4 очевидно,
что ( α x)=
α
(x).
Рис.18.4.Образ
вектора, умноженного на число Следовательно, преобразование -- линейное.
Упражнение18.1.1. Пусть L -- двумерное
векторное пространство, l -- некоторая прямая, проходящая через начало
координат, --
преобразование, переводящее каждый вектор x в вектор x'
симметричный исходному относительно прямой l (рис. 19.5). Другими
словами, x' является зеркальным отражением вектора x в прямой l.
Рис.18.5.Преобразование отражения
Докажите, что является
линейным преобразованием.
Упражнение18.1.2. Пусть L -- двумерное
векторное пространство, l -- некоторая прямая, проходящая через начало
координат, --
преобразование, переводящее каждый вектор x в его проекцию на прямую l
(рис. 19.6).
Рис.18.6.Преобразование проектирования
Докажите, что является
линейным преобразованием.
Пример 18.3.
Пусть L -- пространство всех многочленов, --
преобразование, которое переводит вектор из L, то есть многочлен, в
производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть
вектором из L. Пусть x a1 L, то есть x=a0+a1t+a2t2+...+aktk.
Тогда
(x) = x' = a1 + 2a2t
+...+ kaktk - 1.
Например, если x=1-3t+t2+2t3,
то (x)=-3+2t+6t2.
Покажем, что преобразование
является
линейным.
Пусть x, y a1 L, α -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим
(x + y) = (x + y)' = x'
+ y' =
(x) +
(y).
Аналогично,
( i x) = ( i x)' = i
x' = i
(x).
Следовательно, -- линейное
преобразование.
Пример 18.4.
Пусть L -- n-мерное линейное пространство, Выберем в этом
пространстве базис e1, e2,..., en.
Тогда у любого вектора x есть его координатный столбец α =. Пусть A
-- квадратная матрица порядка n. Определим преобразование
следующим
образом: x'=
(x)
является вектором, координатный столбец которого равен α
=A
α (справа стоит произведение матрицы A на столбец α ). Покажем, что
преобразование
--
линейное.
Пусть x и y имеют координатные
столбцы α и β соответственно, а их образы (x)
и
(y)
-- координатные столбцы α
, и β
.
Тогда
i = A i ,
= A
, i
+
= A i + A
= A( i +
).
Но выражение в последнем равенстве справа является
координатным столбцом образа суммы векторов x+y. Следовательно, (x)+
(y)=
(x+y).
Пусть x -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора x равен α , координатный столбец образа вектора
A( b x)
= b A i = b i , то есть равен числу λ????, умноженному на координатный
столбец образа вектора x. Поэтому
(x)=
(x).
Тем самым мы доказали, что преобразование
является
линейным.
Очевидно, что примерами линейных
преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть
преобразование, переводящее каждый вектор в себя, (x)=x,
и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль,
(x)=0.
Легко проверяется, что для любого линейного
преобразования образ нуля
равен нулю,
(0)=0.
Действительно, в силу второго из равенств
(0) =
(0 . x)
= 0 .
(x)
= 0.
18.2. Матрица линейного преобразования
В примере было показано, что преобразование n-мерного пространства
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.