Расчет плоской фермы, состоящей из 23 стержней, соединенных между собой в 13 узлах

этом в уравнение должны входить только искомая продольная сила и груз Р = 1;

3) если используется уравнение моментов, то координату z груза отсчитывают от моментной точки;

4) передаточная (соединительная) прямая находится между узлами рассеченного стержня грузового пояса, левая прямая – слева от передаточной, правая – справа.

Линии влияния усилий в междуопорной части фермы

Построим вначале линии влияния опорных реакций V₁ и V₅, так как они понадобятся для построения л. в. усилий в междуопорной части фермы. Пользуясь графическим методом, как и для балок, откладываем ординату (+1) под рассматриваемой опорой, под второй опорой нуль, соединяем прямой линией. Линии влияния V₁ и V₅ показаны на рисунке 3, в, г, они не имеют изломов на протяжении всей фермы.

Линия влияния N_3-4’, N_3-4, N_3’-4’. Проводим сечение I-I через три стержня: 3-4,  3-4’  и  3’-4’,  рассматриваем  равновесие  правой  части фермы, если груз Р = 1 левее сечения, и левой части, если груз правее (рисунок 3, б). Расчеты записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Построение л. в. N_3-4’, N_3-4, N_3’-4’.

По данным таблицы 1 строим линии влияния (рисунок 3, д-ж). Полученные ординаты под узлами 3 и 4 соединяем передаточными прямыми.

Проверяем построения. Для раскосов передаточная прямая должна «пересекать» раскос, для поясов левая и правая прямые должны пересекаться под моментной точкой. В наших линиях влияния эти правила соблюдаются.

Линия влияния N_2-2’. Проводим сечение II-II через три стержня: 1-2, 2-3 и  2-2’, рассматриваем равновесие вырезанного узла фермы (рисунок 3, з). Расчеты записываем в таблицу 2.

Таблица 2. Построение л. в. N_2-2’.

По данным таблицы 2 строим линию влияния N_2-2’ (рисунок 3, и). Так как сечение II-II пересекает два стержня грузового пояса, будет две передаточные прямые.

Линии влияния усилий в консольной части фермы

Линия влияния N_5-6, N_5-6’. Проводим сечение III-III через три стержня: 5-6, 5-6’ и 5’-6’ (рисунок 4, а). Для обеих линий влияния будем использовать уравнения моментов, положение груза Р = 1 будем отсчитывать от соответствующей моментной точки, всегда рассматривая равновесие отсеченной консоли.

Для определения N_5-6 в качестве моментной точки выбираем узел 6’, где пересекаются стержни 5-6’ и 5’-6’. Здесь помещаем начало системы координат z₁, y₁ (рисунок 4, б). Для вычисления N_5-6’ начало системы координат z₂, y₂ располагаем в узле 7, причем ось z₂ направляем влево (рисунок 4, г). Расчеты записываем в таблицу 3.

Таблица 3. Построение л. в. N_5-6 и N_5-6’

Здесь b = 2а · sin 26,6º = 0,894a.

По данным таблицы 3 строим линии влияния (рисунок 4, в, д). Полученные ординаты под узлами 5 и 6 соединяем перед аточными прямыми.

Рисунок 3

Рисунок 4

4 Определение усилий по линиям влияния

Загрузим линию влияния N_3-4’ постоянной нагрузкой q (рисунок 5, а). Подсчитаем площади положительного (ω₁) и отрицательных (ω₂, ω₃) участков (рисунок 5, г):

ω₁ =  = ; ω₂ =  = ; ω₃ =  = .

Определим усилие в стержне 3-4’:

N_3-4’ = q(ω₁ + ω₂ + ω₃) = = –1,414qa.

5 Определение усилий аналитически

Вычислим аналитически усилие в том же стержне. Загрузим ферму узловой нагрузкой (рисунок 5, б) и определим опорную реакцию V₁ из уравнения моментов относительно точки 5:

∑М₅ = 0; –V₁4a + 0,5qa 4a + qa 3a + qa 2a + qa · a – qa · a – 0,5qa 2a = 0;

–V₁4a + 6qa² = 0;  V₁ =  6qa²/4a = 1,5qa.

Проведем сечение I-I, отбросим правую часть фермы и рассмотрим равновесие левой. Для нахождения силы N_3-4’ составим уравнение проекций на вертикальную ось:

∑Y = 0;  V₁ – 0,5qa – qa – qa – N_3-4’ sin 45º = 0;

1,5qa – 2,5qa – N_3-4’  = 0;  N_3-4’ =  = –1,414qa.

Результат совпадает с полученным ранее.

Рисунок 5

6 Вычисление расчетных усилий

Загрузим линию влияния усилия в стержне 3-4’ временной нагрузкой в виде перемещающейся по грузовому поясу крановой тележки весом Р = 3qa.

Давление колес на ось двухосной тележки

Q = Р/4 = 3qa/4 = ¾ qa.

Примем расстояние между осями тележки равным а/2. Поместим тележку на ферму так, чтобы временная нагрузка занимала невыгоднейшее положение (рисунок 5, в). При этом рассмотрим два ее положения – над положительным и отрицательным участками линии влияния.

Вычислим усилие в стержне 3–4’ от временной нагрузки, умножая значения  временных сосредоточенных сил Q на ординаты под этими силами.

Положение 1.  .

Положение 2.  .

Вычислим суммарные усилие в стержне 3–4’ от постоянной и временной нагрузок.

= –1,414qa + 0,398qa = –1,016qa;

 = –1,414qa – 1,326qa = –2,740qa.

Таким образом, большее по модулю усилие в рассматриваемом стержне возникает при нагружении фермы постоянной нагрузкой и временной в положении 2. Если материал фермы одинаково хорошо работает на растяжение и сжатие