Как и следовало ожидать, результаты, полученные с помощью пакета регрессионного анализа, совпадают с теми, которые были получены с помощью полиномиальных линий тренда. Один из видов информации — график остатков — можно извлечь, воспользовавшись исключительно пакетом регрессионного анализа (рис. 5.29).
Из приведенного выше графика видно, что остатки образуют случайную последовательность — не прослеживается никакой видимой закономерности. Этот факт свидетельствует о том, что выбранная модель описывает данные настолько хорошо, насколько возможно.
5.3. Другие линейные модели
Обе использованные в предыдущих примерах модели и
Тр = b0+ b1t
Тр = b0+ b1t + b2t2
линейные (имеется ввиду линейность по коэффициентам bi). Пакет регрессионного анализа в Excel позволяет работать с любой линейной моделью, поэтому можно попытаться аппроксимировать данные зависимостью вида
Тp= bo + b1 sinh(t) + b2arctan(t2) (5.6)
или вида
Тр= b0exp(t0.5) + b1,ln(Q. (5.7)
В данном случае нет никаких указаний на то, что какая-то из этих двух моделей описывает зависимость температуры от времени, однако оба приведенных уравнения являются линейными по коэффициентам Ь, и вполне вписываются в рамки обобщенного регрессионного анализа. Попытка применить модель регрессии, соответствующую уравнению 5.7, привела бы к проблеме: невозможно вычислить натуральный логарифм от значения t = 0, фигурирующего в наборе данных. Главным образом, выбор линейной модели осуществляется либо на основе теории, из которой следует вид зависимости между переменными, либо по виду графика, построенного по имеющимся данным.
Кроме того, можно применять уравнение регрессии, в котором фигурирует несколько независимых переменных. Например, при изучении зависимости объема газа от давления и температуры один из возможных видов уравнения выглядит так:
Vp=b0+ b1P+ b2T. . (5.8)
5.4. Построение линии регрессии, имеющей фиксированную точку пересечения с осью ординат в начале координат
Если нужно выполнить регрессию с помощью кривой, которая проходит через начало координат, в диалоговом окне Регрессия следует установить флажок
Константа — ноль (рис. 5.30).
Иногда бывает так, что кривая согласно предсказаниям теории должна проходить через точку (0, 0). В таких случаях можно зафиксировать точку пересечения линии регрессии с осью ординат в нуле с помощью флажка Константа — ноль.
Пример 5.1.
Считается, что напряжение на выходе термопары прямо пропорционально температуре. Однако если диапазон температур достаточно большой, лучше подойдет степенная аппроксимация. Выполним регрессию на основе линейной и экспоненциальной зависимости и сравним результаты, полученные в обоих случаях. В качестве исходных данных возьмем показания вольтметра, подключенного к термопаре из меди и константана (температура свободного спая поддерживается на уровне О °С), в интервале температур от 10 до 400 °С.
Сначала выполним простую линейную регрессию на основе линейной зависимости (рис. 5.31).
Значение R2, равное 0,9955 — неплохой результат, однако данные несколько отклоняются от линии регрессии.
Значение R2, соответствующее степенной аппроксимации, меньше отличается от единицы, чем значение, соответствующее аппроксимации с помощью прямой. Однако на рис. 5.32 тоже заметно некоторое различие между данными (оси, вдоль которых откладываются значения температуры Т и напряжения U, — логарифмические) и аппроксимирующей кривой. Посмотрим, насколько хорошо степенная модель предсказывает значения напряжений:
bо= -3,5053, таким образом, k0 = е b0= 0,03004 ,
b1= 1,0819, следовательно, k1= b2= 1,0819.
Степенная модель хорошо описывает данные при низких температурах и несколько хуже при высоких.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.