Термическое сопротивление теплопередачи через изолированный трубопровод. Зависимость линейного термического сопротивления от диаметра изоляции

Тепломассообмен

«Альфолевая» изоляция

Термическое сопротивление тепло- передачи через изолиров-й трубопровод

(1)

При

(остальные величины постоянные):

(2)

(3)

Из (3) видно, что растет с увеличением

а

- уменьшается (см.следующий слайд).

Зависимость линейного термического сопротивления от диаметра изоляции

Исследование функции на минимум

• Итак, из 2-х слайдов видно, что минимуму сопротивления при

соответствует максимум теплопотерь. Для определения

критического диаметра изоляции надо исследовать функцию (3) на минимум:

или:

При с учетом, что

имеем:

Эффективность тепловой изоляции трубопроводов

После сокращения на имеем:

или:

откуда:

При

- эффективная изоляция;

при

- малоэффективная изоляция.

Действительно, из следующего слайда:

Критический диаметр изоляции

Теплопроводность в стержне (ребре) постоянного поперечного сечения

Условные обозначения

• На предыдущем слайде:

- поперечное сечение стержня,

- периметр стержня, м;

- температура окружающей среды,

- коэффициент теплоотдачи,

- температура стержня,

- температура основания стержня,

- избыточная температура стержня, К;

- избыточная температура основания стержня, К;

- длина стержня, м.

Уравнение теплового баланса

• При

(бесконечный стержень).

Уравнение теплового баланса:

,

(1)

где

- теплота, отдаваемая конвекцией окружающей жидкости;

- теплота, подведенная т-проводностью к левой грани;

- теплота, отведенная т-проводностью от правой грани.

По закону Фурье для теплопроводности:

(2)

Конвективный тепловой поток к окружающей жидкости по уравнению Ньютона-Рихмана:

• (3)

где

Дифференциальное уравнение для избыточной температуры в стержне

• Подставляем (2) и (3) в (1):

После сокращения на для избыточной температуры в стержне:

получаем дифференциальное ур-е

(4)

где

Для

при постоянном сечении ребра, тогда интеграл от (4):

(5)

Константы интегрирования определяются из граничных условий для конкретных случаев. Рассмотрим их далее.

А) Стержень бесконечной длины

• Граничные условия: при

(6)

так как при вся теплота будет отдана жидкости.

(7) (8) (9)

Подставляем (6) в (5): при

Из (8):

Подставляем значение константы (9) в (7):

(10)

то есть

После подстановки констант интегрирования (9) и (10) в (5):

(11)

Или безразмерный избыток температуры:

(12)

Теплопроводность в стержне бесконечной длины

Теплота, отданная стержнем жидкости

• По предыдущему слайду видно, что при

все кривые

асимптотически приближаются к 0. Из следует, что m пропорциональна теплоотдаче с боковой поверхности и обратно пропорциональна

теплопроводности вдоль стержня, то есть надо выбирать материал для ребер с большим

. Теплота, отданная стержнем жидкости

равна теплоте, прошедшей через его основание, Вт:

(13) Из (11) следует:

(14)

(14) в (13):

(15)

Б) Стержень конечной длины

(16)

• Граничные условия: при

При теплота, подведенная теплопроводностью к концу стержня, равна конв.теплоотдаче от конца стержня к жидкости. Из (16) следует:

(17)

где коэффициент теплоотдачи от конца стержня; Избыточная температура на конце стержня.

Если подставить граничные условия (16) в общее решение диф. ур-я (5) и найти константы интегрирования

то с учетом обозначений:

Избыточная температура в стержне конечной длины

Если теплоотдачей с торца пренебречь

то

(18)

граничные условия будут: при

(19)

Это возможно при малом и большом,

то есть при тогда вместо (18):

(20)

Обычно доля теплоты, отдаваемой с торца, мала по сравнению с таковой с боковых

поверхностей, поэтому для практических расчетов использ-ся ур-е (20). Так как в нем только остальные величины постоянные, то

с учетом, что имеем:

Теплота, отданная стержнем жидкости

(21)

Подставляем (21) в (13), получаем теплоту, отданную стержнем жидкости, равную теплоте, прошедшей через его основание, Вт:

(22)

или с учетом, что

(23)

• Для длинного стержня

Тогда формулы (22) и (23) для конечного стержня переходят в в уравнение (15) для бесконечного стержня.

Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты. А) Однородная пластина

Пограничные слои

Дифференциальное уравнение теплопроводности

• При

бесконечная пластина; в стационарном процессе:

Найти:

(1)

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

Для стационарного процесса тогда:

(2)

где оператор Лапласа.

При

тогда после деления (2) на дифференциальное уравнение теплопроводности в бесконечной пластине:

(3)

Граничные условия

• Условия теплоотдачи одинаковы с обеих сторон пластины, поэтому температурное поле симметричное, а тепловыделения в обеих половинах пластины одинаковы, то есть можно рассматривать одну ее правую половину. Граничные условия:

(4)

Интегрируем (3):

(5) разделяем переменные:

После 2-го интегрирования:

уравнение параболы. (6)

Константы интегрирования

• Константы интегрирования находятся из граничных условий (4)
• и уравнений (5) и (6): при

(7) (8)

Подставляем (8) в (4):

(9)

(10)

После сокращения на

подставляем (10) в (6) при с учетом, что

Приравнивая (10) и (11), получим:

(11)

(12)

откуда:

Тепловые потоки и температуры

• Подставим константы интегрирования (7) и (12) в (6):

то есть температура в пластине изменяется по параболич.закону.

(13)

• Тепловой поток, отдаваемый от правой половины пластины:

(14)

то есть

Если температура стенки известна или вычислена по уравнению (10), то есть заданы граничные условия I рода, то:

(15)

тогда при

(16)

- температура в центре пластины.

Теплопроводность однородного цилиндра

Пограничные слои

Дифференциальное уравнение теплопроводности в полярных координатах

• При

бесконечный цилиндрический стержень.

Для стационарного процесса

Найти

Условия теплоотдачи с правой и левой сторон одинаковы (симметри- чная задача), следовательно можно рассматривать только правую по- ловину цилиндра. Дифференциальное уравнение теплопроводности:

(1)

Для стационарного процесса тогда:

где оператор Лапласа в полярных (цилиндрических) координатах:

(2)

(3)

Граничные условия

• Для бесконечного цилиндра

тогда после деления (2) на получим дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного цилиндра при стаци- онарном режиме:

(4)

Граничные условия: при

(5)

Найти:

(6)

После двойного интегрирования (4) имеем:

Теплота, отданная конвекцией от цилиндра к окружающей его жидкости

• Определив константы интегрирования и подставив их (6):

(7)

то есть температура в цилиндре изменяется по параболическому закону.

Температура на оси цилиндра при

(8) (9)

на стенке цилиндра при

• Если заданы граничные условия I рода, то есть известна

Плотность теплового потока из (9),

(10)

(11)

Полная теплота:

(12)

Нестационарная теплопроводность

Дифференциальное уравнение теплопроводности

• Нестационарная теплопроводность имеет место при нагревании
• и охлаждении заготовок, пуске и остановке теплоэнергетических установок, обжиге кирпича, вулканизации резины. На слайде показан характер нагрева твердого тела в среде с постоянной температурой

температуры в центре тела и на его

поверхности. Процесс описывается дифференциальным уравне- нием теплопроводности без внутренних источников теплоты

Условия однозначности: 1) Геометрические - геометрические

(1)

размеры и форма тела; 2) Физические – физические параметры тела; 3) Начальные - при

4) Граничные

Решение заключается в условия III рода нахождении функции

Охлаждение пластины

Дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия

• Охлаждение (нагревание) пластины при:

В дифференциальное уравнение и граничные условия подставим избыточную температуру

Для бесконечной пластины

тогда:

(2)

Начальные условия: при

(3)

При симметричная задача, тогда граничные условия:

(4)

Разделение переменных

• Решение дифференциального уравнения (2) ищем в виде произведения