Случайные события. Классическое и статистическое определение вероятности. Алгебра событий

умножаем числитель и знаменатель написанной дроби на комплексное число , сопряженное знаменателю. Заранее должны оговориться, что на нуль делить нельзя, и что, поэтому, знаменатель  не равен  нулю.

,

                                                     (9)

Формула (9) показывает, что отношение двух комплексных чисел есть комплексное число, если только знаменатель дроби не есть нуль. Деление же на нуль невозможно так же, как и в случае действительных чисел.

Общее заключение из формул (4), (5), (6) и (9): все четыре действия арифметики, проделанные над комплексными числами, дают в результате опять комплексное число, могущее оказаться, в частном случае, и действительным.

Из того, что, во время выкладок, позволено обращаться с мнимой единицей i как с действительным переменным, заменяя только всюду, по дороге и в окончательном результате,  через -1, следует, что все законы арифметики и алгебры распространяются полностью на комплексные числа. В частности, произведение комплексных чисел        обра щается в нуль тогда и только тогда, когда один из множителей является нулем.

2. Геометрическое изображение комплексных величин.

Мы знаем, что всякое действительное число а изобразимо

в виде точки М, лежащей на прямой линии и, что, обратно, всякая такая точка М изображает некоторое действительное число а, называемое абсциссою точки М . Абсцисса точки М есть отвлеченное действительное число, выражающее длину направленного отрезка ОМ, измеренного единицей масштаба.

   Аналогично, всякое комплексное  число  изобразимо в виде точки М (а, Ь) плоскости, имеющей абсциссою и ординатою действительные числа а и Ь, и обратно: всякая точка М плоскости, имеющая абсциссою

действительное число а, и ординатою действительное число b, служит изображением комплексного числа

По аналогии с предыдущим, это комплексное число называется

аффиксом точки М. Таким образом, всякое комплексное число есть аффикс единственной вполне определенной точки М, лежащей на плоскости ХОУ, и всякая точка М(а, b) этой-плоскости имеет своим аффиксом комплексное число.  Если точка М лежит на горизонтальной координатной оси ОХ, то аффикс такой точки М есть действительное число а,потому что в этом случае b = 0. Поэтому ось абсцисс ОХ носит название оси действительных чисел или сокращенно: действительная ось. Аналогично, когда точка М лежит на вертикальной координатной оси ОУ, аффикс такой точки М есть чисто мнимое число bi, потому что в этом случае а=0. Поэтому ось ординат О У носит название оси мнимых чисел или сокращенно (но неправильно): мнимая ось. Точка N оси ординат ОУ, находящаяся выше начала О и отстоящая от него

на единицу масштаба 1, имеет своим    аффиксом мнимую единицу i. Аффикс начала О есть нуль.

Если мы соединим точку М с началом О прямолинейным отрезком, то

получим вектор ОМ, направленный из начала О в рассматриваемую

точку  М.

Этот вектор ОМ также хорошо может служить для геометрического изображения комплексного числа , как и его конец М.

     Для комплексного числа   вектор ОМ направлен по плоскости. Его длину мы обозначим через r, а его наклон к положительной части оси ОХ обозначим через . Из прямоугольного треугольника ОРМ мы имеем известные прямыеформулы преобразования прямоугольника координат а, b в полярные r,

                                                              (10)

и обратные формулы перехода от полярных координат r, к прямоугольным а, b 

                                     (11)

Так как функция есть многозначная, то надо условиться в оценке угла . Угол   отсчитывается всегда в положительном направлении (против стрелки часов), т. е. вращением положительной части оси ОХ до положения вектора ОМ. Если этот угол  , то остальные значения будут:  и т. д., когда вектор ОМ проходится многократным непрерывным вращением